Integrointi moniulotteisessa avaruudessa

Integrointi moniulotteisessa avaruudessa tarkoittaa kahden tai useamman muuttujan reaaliarvoisten funktioiden määrätyn integraalin selvittämistä. Moniulotteisen avaruuden määrättyjä integraaleja kutsutaan moninkertaisiksi integraaleiksi, ja niiden määrittäminen perustuu yhden muuttujan määrättyjen integraalien määrittämiseen toistuvasti.

Kaksinkertaista integraalia voidaan käyttää kolmiulotteisen kappaleen tilavuuden määrittämiseen. Kuvan esimerkissä pinnan ${\textstyle f(x,y)=10-{\frac {x^{2}-y^{2}}{8}}}$ alle jäävä tilavuus saadaan integroimalla funktio ${\textstyle f}$ suorakaiteen muotoisen pohjan pinta-alan yli.

Kaksiulotteisen avaruuden ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ osajoukoissa määriteltyjen funktioiden ${\textstyle f(x,y)}$ integraaleja kutsutaan kaksinkertaisiksi integraaleiksi ja kolmiulotteisen avaruuden ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ osajoukoissa määriteltyjen funktioiden ${\textstyle f(x,y,z)}$ integraaleja vastaavasti kolminkertaisiksi integraaleiksi. Yksinkertaisin moniulotteisessa avaruudessa integroinnin sovellus on kolmiulotteisen alueen tilavuuden määrittäminen kaksinkertaisen integraalin avulla.

Merkintätavoista

Tavanomaista, välillä ${\textstyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ määritellyn, yhden muuttujan funktion määrättyä integraalia merkitään yleisesti:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$.

Moniulotteisten avaruuksien integraaleissa merkinnät ovat samankaltaisia. Toisaalta eri lähteissä moninkertaisia integraaleja merkitään eri tavoin. Kahden muuttujan funktion ${\textstyle f(x,y)}$ integraalia yli tason ${\textstyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ (merkinnästä ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ks. karteesinen tulo) merkitään kaksinkertaisella integraalimerkillä:

$\iint _{D}f(x,y)\,\mathrm {d} A$.

Vastaavasti kolmen muuttujan funktion ${\textstyle f(x,y,z)}$ integraalia yli avaruuden ${\textstyle R\subset \mathbb {R} ^{3}}$ merkitään kolminkertaisella integraalimerkillä:

$\iiint _{R}f(x,y,z)\,\mathrm {d} V$.

Useamman kuin kolmen muuttujan funktion integraaleille toistuvia integraalimerkkejä ei enää tilan säästämisen vuoksi käytetä (vrt. moninkertaisten derivaattojen merkintä). Sen sijaan avaruudessa ${\textstyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$, missä ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$, ${\textstyle n\geq 3}$, määritellyn funktion ${\textstyle f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$ integraalissa käytetään eri lyhennysmerkintöjä:

$\int \dots \int _{A}f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})\,\mathrm {d} V$,

$\int \dots \int _{A}f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})\,\mathrm {d} x_{1}\dotsc \mathrm {d} x_{n}$.

Joskus kaksin-, kolmin- tai useammankertaista integraalia merkitään myös yksinkertaisella integraalimerkillä (jolloin integraalissa esiintyvän avaruuden ulottuvuus on selvitettävä kontekstista):

$\int _{A}f(x_{1},\dotsc ,x_{n})\,\mathrm {d} x_{1}\dotsc \mathrm {d} x_{n}$,$\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V$ tai $\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} \mathbb {x}$,

missä kahdessa viimeisessä käytetään merkintää ${\textstyle f(\mathbb {x} )=f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$. Kummallakin merkintätavalla on omat hyvät ja huonot puolensa, ja kumpaankin käytetään yleisesti.

Määritelmä

Kaksinkertaisen integraalin määritelmä esitetään (yksinkertaisuutensa ja helpommin hahmotettavuutensa takia) siten, kuin se on esitetty lähteessä . Useamman muuttujan funktioiden integrointi määritellään yleisemmin, kuten se on tehty lähteessä . Nämä kaksi määritelmää eivät ole ristiriidassa keskenään.

Kaksinkertainen integraali

Suorakulmion ${\textstyle D}$ (tummennettu alue) ositus pienemmiksi suorakulmioiksi ${\textstyle R_{ij}}$, missä ${\textstyle 1\leq i\leq m}$ ja ${\textstyle 1\leq j\leq n}$.

Olkoon ${\textstyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ suljettu suorakulmio, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja ${\textstyle f:D\to \mathbb {R} }$ rajoitettu kuvaus. Jos ${\textstyle D}$:hen kuuluvat kaikki pisteet ${\textstyle (x,y)}$ siten, että ${\textstyle x\in [a,b]}$ ja ${\textstyle y\in [c,d]}$, niin ${\textstyle D}$:hen voidaan määritellä ositus ${\textstyle P}$ siten, että

${\begin{aligned}a&=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{m-1}<x_{m}=b\\c&=y_{0}<y_{1}<y_{2}<\dots <y_{n-1}<y_{n}=d.\end{aligned}}$

Ositus ${\textstyle P}$ koostuu ${\textstyle m\cdot n}$:stä suorakulmiosta ${\textstyle R_{ij}}$, missä ${\textstyle 1\leq i\leq m}$ ja ${\textstyle 1\leq j\leq n}$, jotka edelleen koostuvat pisteistä ${\textstyle (x,y)}$, missä ${\textstyle x\in [x_{i-1},x_{i}]}$ ja ${\textstyle y\in [y_{j-1},y_{j}]}$. Suorakulmion ${\textstyle R_{ij}}$ pinta-ala on

$\Delta A_{ij}=\Delta x_{i}\Delta y_{j}=(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1})$

ja sen lävistäjän pituus on Pythagoraan lauseen nojalla

$\mathrm {diam} (R_{ij})={\sqrt {(\Delta x_{i})^{2}+(\Delta y_{j})^{2}}}={\sqrt {(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{j}-y_{j-1})^{2}}}$.

Määritellään osituksen ${\textstyle P}$ suurimman suorakulmion lävistäjän pituus osituksen normiksi:

$\lVert P\rVert =\max _{1\leq i\leq m,~1\leq j\leq n}\mathrm {diam} (R_{ij})$.

Valitaan jokaisesta suorakulmiosta ${\textstyle R_{ij}}$ mielivaltainen piste ${\textstyle (x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})}$ ja muodostetaan niiden avulla kaksiulotteinen Riemannin summa:

$S_{P}(f)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}f(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})\Delta A_{ij}$.

Suorakulmio ${\textstyle R_{ij}}$ muodostaa suorakulmaisen laatikon pohjan. Laatikon korkeus on ${\textstyle z=f(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})}$. Riemannin summa on kaikkien näiden laatikoiden tilavuuksien summa.

Riemannin summan jokainen termi kuvaa sellaisen suorakulmaisen laatikon tilavuutta, jonka pohja on suorakulmio ${\textstyle R_{ij}}$ ja korkeus on funktion ${\textstyle f}$ arvo pisteessä ${\textstyle (x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})}$ (siis mikäli ${\textstyle f(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})\geq 0}$). Näin ollen positiivisille funktioille Riemannin summa approksimoi suorakulmion ${\textstyle D}$ ja funktion ${\textstyle f}$ kuvaajan väliin jäävän avaruuden tilavuutta. Kun laatikoiden lukumäärää kasvatetaan ja vastaavasti pinta-aloja ${\textstyle \Delta A_{ij}}$ pienennetään (jolloin jaon normi ${\textstyle \lVert P\rVert }$ pienee), muuttuu approksimaatio yhä tarkemmaksi. Kaksinkertaisen integraalin määritelmä perustuukin siihen, että ${\textstyle \lVert P\rVert \to 0}$. Lopullinen määritelmä kuuluu:

Funktio ${\textstyle f:D\to \mathbb {R} }$ on integroituva suorakulmion ${\textstyle D}$ yli ja sillä on kaksinkertainen integraali

$I=:\iint _{D}f(x,y)\,\mathrm {d} A$,

jos kaikilla ${\textstyle \varepsilon >0}$ on olemassa (${\textstyle \varepsilon }$:sta riippuva) luku ${\textstyle \delta >0}$ siten, että ehto

$\left|S_{P}(f)-I\right|<\varepsilon$

pätee kaikille ${\textstyle D}$:n osituksille ${\textstyle P}$, joille ${\textstyle \lVert P\rVert <\delta }$ sekä kaikkien osajoukkojen ${\textstyle R_{ij}}$ kaikissa pisteissä ${\textstyle (x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})}$.

Merkintä ${\textstyle \mathrm {d} A}$ tarkoittaa differentiaalista pinta-alaelementtiä, joka on eräs esitystapa pinta-alan ${\textstyle \Delta A=\Delta x\Delta y}$ raja-arvolle. Pinta-alaelementti voidaan kirjoittaa muodossa

$\mathrm {d} A=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x$,

mistä on erityistä hyötyä myöhemmin, kun integraaleja lasketaan iteroimalla.

Kolmin- tai useammankertainen integraali

Olkoon ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$, ${\textstyle n\geq 3}$. Joukko${\textstyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \dotsc \times [a_{n},b_{n}]}$on avaruuden ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ kompakti väli (nk. hypersuorakulmio). Olkoon lisäksi ${\textstyle f:I\to \mathbb {R} }$ rajoitettu funktio. Jos ${\textstyle 1\leq i\leq n}$, niin välin ${\textstyle [a_{i},b_{i}]}$ jako ${\textstyle P_{i}}$ on:

$a_{i}=t_{0}\leq t_{1}\leq \dotsc \leq t_{k_{i}}=b_{i}$.

Ts. väli ${\textstyle [a_{i},b_{i}]}$ voidaan esittää ${\textstyle k_{i}}$:n eri osavälin (joista osa voi olla myös surkastunut pisteeksi) ${\textstyle [t_{i-1},t_{i}]}$ unioinina. Jos jokaiselle ${\textstyle 1\leq i\leq n}$ on olemassa välin ${\textstyle [a_{i},b_{i}]}$ jako ${\textstyle P_{i}}$, niin joukon ${\textstyle I}$ jako on:

$P=P_{1}\times P_{2}\times \dotsc \times P_{n}$.

Jako ${\textstyle P}$ määrää ${\textstyle \kappa =k_{1}\cdot k_{2}\cdot \dotsc \cdot k_{n}}$ kappaletta kompakteja jakovälejä ${\textstyle I_{1},I_{2},\dots ,I_{\kappa }}$, jotka osittavat välin ${\textstyle I}$. Merkitään mielivaltaista joukon ${\textstyle I}$ pistettä ${\textstyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=\mathbb {x} }$ sekä kaikilla ${\textstyle j\in \{1,2,\dotsc ,\kappa \}}$:

$g_{j}=\inf _{\mathbb {x} \in I_{j}}f(\mathbb {x} )$ ja

$G_{j}=\sup _{\mathbb {x} \in I_{j}}f(\mathbb {x} )$

(ks. infimum ja supremum). Määritellään näiden avulla jakoon ${\textstyle P}$ liittyvä alasumma kaavalla

$s_{P}(f)=\sum _{j=1}^{\kappa }\left[g_{j}\cdot \prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\right]=\sum _{j=1}^{\kappa }\left[g_{j}\cdot (b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\cdot \dotsc \cdot (b_{n}-a_{n})\right]$

ja vastaavasti jakoon ${\textstyle P}$ liittyvä yläsumma kaavalla

$S_{P}(f)=\sum _{j=1}^{\kappa }\left[G_{j}\cdot \prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\right]=\sum _{j=1}^{\kappa }\left[G_{j}\cdot (b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\cdot \dotsc \cdot (b_{n}-a_{n})\right]$.

Joukolle ${\textstyle I}$ voidaan asettaa useita eri ala- ja yläsummia riippuen siitä, millä tavalla (ja kuinka monilla osaväleillä) jako ${\textstyle P}$ tehdään. Jos jakopisteitä lisätään, ei yläsumma kasva eikä alasumma pienene. Näin ollen, jos ${\textstyle P}$ on välin ${\textstyle I}$ jako, ${\textstyle P'}$ on ${\textstyle P}$:n alajako (jako, joka sisältää (vähintään) kaikki jaon ${\textstyle P}$ jakopisteet) ja ${\textstyle P''}$ on kummankin edellisen jaon alajako, niin:

$s_{P}(f)\leq s_{P''}(f)\leq S_{P''}(f)\leq S_{P'}(f)$

Tästä seuraa edelleen, että alasummien joukon supremum on korkeintaan yläsummien joukon infimum. Näin ollen, jos ${\textstyle P}$ on joukon ${\textstyle I}$ mielivaltainen jako, niin aina

$\sup _{P}s_{P}(f)\leq \inf _{P}S_{P}(f)$.

Tällöin funktio ${\textstyle f:I\to \mathbb {R} }$ on (Riemann-)integroituva (joukossa ${\textstyle I}$ tai joukon ${\textstyle I}$ yli), jos

$\sup _{P}s_{P}(f)=\inf _{P}S_{P}(f)$.

Tämä määritelmä yhtyy kaksinkertaisen integraalin määritelmään seuraavasti: Olkoon ${\textstyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \dotsc \times [a_{n},b_{n}]\subset \mathbb {R} ^{n}}$, ${\textstyle n\geq 2}$ ja ${\textstyle f:I\to \mathbb {R} }$ on rajoitettu funktio. Tällöin funktio ${\textstyle f}$ on integroituva, jos ja vain, jos kaikilla ${\textstyle \varepsilon >0}$ on olemassa välin ${\textstyle I}$ jako ${\textstyle P}$ siten, että

$S_{P}(f)-s_{P}(f)<\varepsilon$.

Integrointi yleisen joukon yli

Integrointialue ${\textstyle A}$ on suorakulmion ${\textstyle I}$ osajoukko.

Yleisesti ottaen joukko, jonka yli integrointi suoritetaan, ei välttämättä ole suorakulmio (tai hypersuorakulmio). Tällöin integrointialuetta voidaan yksinkertaistaa laajentamalla sitä siten, että uusi integrointialue on sellainen (hyper-)suorakulmio, joka sisältää alkuperäisen integrointialueen sekä määrittelemällä integroitava funktio paloittain. Oletetaan nyt, että ${\textstyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \dotsc \times [a_{n},b_{n}]\subset \mathbb {R} ^{n}}$ on hypersuorakulmio. Olkoon lisäksi integrointialue ${\textstyle A\subset I}$ ja funktio ${\textstyle f:A\to \mathbb {R} }$ rajoitettu. Määritellään funktio ${\textstyle {\hat {f}}:I\to \mathbb {R} }$ siten, että:

${\hat {f}}(\mathbb {x} )={\begin{cases}f(\mathbb {x} ),&{\text{ jos }}\mathbb {x} \in A\\0,&{\text{ jos }}\mathbb {x} \in I\,\backslash \,A.\end{cases}}$

Jos ${\textstyle {\hat {f}}}$ on integroituva yli ${\textstyle I}$:n, niin myös funktio ${\textstyle f}$ on integroituva yli ${\textstyle A}$:n ja:

$\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V=\int _{I}{\hat {f}}(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V$.

Integraalin arvo ei riipu joukon ${\textstyle I}$ valinnasta, kunhan ${\textstyle A\subset I}$.

Moninkertaisten integraalien ominaisuuksia

Olkoon seuraavassa ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$, ${\textstyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$, ${\textstyle \mathbb {x} =(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$, funktiot ${\textstyle f}$ ja ${\textstyle g}$ integroituvia funktioita joukossa ${\textstyle A}$ sekä ${\textstyle a\in \mathbb {R} }$ ja ${\textstyle b\in \mathbb {R} }$ vakioita. Seuraavat ominaisuudet pätevät moniulotteisille integraaleille:

• $\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V=\int _{\mathrm {int} (A)}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V$ (merkintä ${\textstyle \mathrm {int} (A)}$ tarkoittaa joukon ${\textstyle A}$ sisäpisteiden joukkoa).
• $\int _{A}1\,\mathrm {d} V$ = integrointialueen ${\textstyle A}$ tilavuus (pinta-ala, jos ${\textstyle n=2}$ ja pituus, jos ${\textstyle n=1}$).

• $\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V=0$, jos ${\textstyle \mathrm {int} (A)=\varnothing }$ (joukolla ${\textstyle A}$ ei ole sisäpisteitä).
• Funktio ${\textstyle a\cdot f+b\cdot g}$ on integroituva joukossa ${\textstyle A}$ ja $\int _{A}\left(af(\mathbb {x} )+bg(\mathbb {x} )\right)\,\mathrm {d} V=a\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V+b\int _{A}g(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V$.
• Jos ${\textstyle f(\mathbb {x} )\leq g(\mathbb {x} )}$ kaikilla ${\textstyle \mathbb {x} \in A}$, niin $\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V\leq \int _{A}g(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V$.
• Kolmioepäyhtälö: $\left|\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V\right|\leq \int _{A}\left|f(\mathbb {x} )\right|\,\mathrm {d} V$.
• Jos joukot ${\textstyle A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{k}}$ osittavat joukon ${\textstyle A}$, niin $\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V=\sum _{i=1}^{k}\int _{A_{i}}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V$.

Integrointimenetelmiä

Symmetrioiden käyttö

Kaksin- ja kolminkertaisia integraaleja voidaan käyttää erityisesti pinta-alojen ja tilavuuksien määrittämiseen. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää myös toisin päin: jos tiedetään integrointialueen pinta-ala tai tilavuus, voidaan integrointia helpottaa tai jopa jättää kokonaan pois. Vastaavasti voidaan käyttää integroitavan funktion symmetriaominaisuuksia, kuten parillisuutta ja parittomuutta.

Esimerkki 1

Olkoon integrointialue ${\textstyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ suorakulmio ${\textstyle a\leq x\leq b}$, ${\textstyle c\leq y\leq d}$. Tällöin

${\begin{aligned}\iint _{D}3\,\mathrm {d} A&=3\iint _{D}\mathrm {d} A=3\cdot (D{\text{:n pinta-ala}})\\&=3(b-a)(d-c).\end{aligned}}$

Esimerkki 2

Määritetään integraalin ${\textstyle \iint _{x^{2}+y^{2}\leq 1}(\sin x+y^{3}+4)\,\mathrm {d} A}$ arvo. Ensimmäiseksi havaitaan, että integrointialue on ${\textstyle xy}$-tason origokeskinen yksikkökiekko (symmetrinen origon suhteen). Integraali voidaan jakaa kolmeksi eri integraaliksi:

${\begin{aligned}\iint _{x^{2}+y^{2}\leq 1}(\sin x+y^{3}+4)\,\mathrm {d} A&=\iint _{x^{2}+y^{2}\leq 1}\sin x\,\mathrm {d} A+\iint _{x^{2}+y^{2}\leq 1}y^{3}\,\mathrm {d} A+\iint _{x^{2}+y^{2}\leq 1}4\,\mathrm {d} A\\&=:I_{1}+I_{2}+I_{3}\end{aligned}}$

Koska integrointialue on origon suhteen symmetrinen ja funktio ${\textstyle f(x,y)=\sin x}$ on pariton funktio, niin kuvaajan ja ${\textstyle xy}$-tason väliin jäävä tilavuus on yhtä suuri alueissa ${\textstyle x<0}$ ja ${\textstyle x>0}$. Parittomuudesta johtuen nämä tilavuudet kumoavat toisensa, jolloin ${\textstyle I_{1}=0}$. Vastaavasti, funktio ${\textstyle g(x,y)=y^{3}}$ on myös pariton, joten ${\textstyle I_{2}=0}$. Näin ollen

${\begin{aligned}I_{1}+I_{2}+I_{3}&=I_{3}=\iint _{x^{2}+y^{2}\leq 1}4\,\mathrm {d} A\\&=4\cdot ({\text{ympyrän }}x^{2}+y^{2}\leq 1{\text{ pinta-ala}})\\&=4\pi .\end{aligned}}$

Iterointi

Alue ${\textstyle D}$ on säännöllinen ${\textstyle y}$-suunnassa, muttei ${\textstyle x}$-suunnassa. Alue ${\textstyle E}$ on säännöllinen ${\textstyle x}$-suunnassa, muttei ${\textstyle y}$-suunnassa.

Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Sanotaan, että integrointialue ${\textstyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ on

• säännöllinen ${\textstyle y}$-suunnassa, jos sitä rajoittavat suorat ${\textstyle x=a}$ ja ${\textstyle x=b}$, sekä mikä tahansa ${\textstyle y}$-akselin suuntainen suora leikkaa alueen ${\textstyle D}$ reunan korkeintaan kahdesti.

• säännöllinen ${\textstyle x}$-suunnassa, jos sitä rajoittavat suorat ${\textstyle y=c}$ ja ${\textstyle y=d}$, sekä mikä tahansa ${\textstyle x}$-akselin suuntainen suora leikkaa alueen ${\textstyle D}$ reunan korkeintaan kahdesti.

Oletetaan esimerkiksi, että integrointialue ${\textstyle D}$ on säännöllinen ${\textstyle y}$-suunnassa ja sitä rajoittavat suorat ${\textstyle x=a}$ ja ${\textstyle x=b}$ sekä käyrät ${\textstyle y=\alpha (x)}$ ja ${\textstyle y=\beta (x)}$ siten, että ${\textstyle \alpha (x)\leq \beta (x)}$ kaikilla ${\textstyle x\in [a,b]}$. Funktion ${\textstyle z=f(x,y)}$ kuvaajan ja ${\textstyle xy}$-tason väliin jäävä avaruus voidaan ''viipaloida'' ${\textstyle yz}$-tason suuntaisilla tasoilla (joissa siis ${\textstyle x={\text{vakio}}}$) pitkin ${\textstyle x}$-akselia. Tällaisen tason pinta-ala saadaan yksiulotteisella määrätyllä integraalilla:

Integroitaessa ${\textstyle y}$-suunnassa säännöllisen alueen yli funktion ${\textstyle z=f(x,y)}$ kuvaajan ja ${\textstyle xy}$-tason väliin jäävä alue ''viipaloidaan'' ${\textstyle x}$-akselia vastaan kohtisuorasti.

$A(x)=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y$.

Tällöin kaksinertainen integraali ${\textstyle \iint _{D}f(x,y)\,\mathrm {d} A}$ saadaan summaamalla differentiaalisen paksujen viipaleiden (pinta-ala ${\textstyle A(x)}$ ja paksuus ${\textstyle \mathrm {d} x}$) tilavuudet suorien ${\textstyle x=a}$ ja ${\textstyle x=b}$ välillä:

$\iint _{D}f(x,y)\,\mathrm {d} A=\int _{a}^{b}A(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\left(\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x$.

Samaa integraalia voidaan merkitä myös:

$\int _{a}^{b}\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$ tai

$\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y$.

Näin päästään kaksinkertaisten integraalien määrittämiseen iteroimalla:

Jos $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ on rajoitettu ja säännöllinen ${\textstyle y}$-suunnassa ($a\leq x\leq b$, $\alpha (x)\leq y\leq \beta (x)$) sekä $f:D\to \mathbb {R}$ on jatkuva funktio, niin

$\iint _{D}f(x,y)\,\mathrm {d} A=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y$.

Jos $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ on rajoitettu ja säännöllinen ${\textstyle x}$-suunnassa ($c\leq y\leq d$, $\gamma (y)\leq x\leq \delta (y)$) sekä $f:D\to \mathbb {R}$ on jatkuva funktio, niin

$\iint _{D}f(x,y)\,\mathrm {d} A=\int _{c}^{d}\mathrm {d} y\int _{\gamma (y)}^{\delta (y)}f(x,y)\,\mathrm {d} x$.

Esimerkki 3

${\textstyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ on neliö, jonka määrittelevät rajat ${\textstyle 0\leq x\leq 1}$ ja ${\textstyle 1\leq y\leq 2}$. Määritetään neliön ${\textstyle D}$ ja tason ${\textstyle z=4-x-y}$ väliin jäävän avaruuden tilavuus. Integrointialue ${\textstyle D}$ on säännöllinen sekä ${\textstyle x}$- että ${\textstyle y}$-suunnissa, joten iterointi voidaan suorittaa kummassa järjestyksessä tahansa.

Esimerkki 3a:

Integroidaan ensin ${\textstyle x}$- ja sitten ${\textstyle y}$-suunnassa. Integroitaessa ${\textstyle x}$-suunnassa muuttujaa ${\textstyle y}$ kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön ${\textstyle D}$ rajoittaman kappaleen tilavuus on:

${\begin{aligned}V&=\iint _{D}(4-x-y)\,\mathrm {d} A\\&=\int _{y=1}^{2}\mathrm {d} y\int _{x=0}^{1}(4-x-y)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{y=1}^{2}\mathrm {d} y\,{\Bigg |}_{x=0}^{1}\left(4x-{\frac {1}{2}}x^{2}-xy\right)\\&=\int _{1}^{2}\left({\frac {7}{2}}-y\right)\,\mathrm {d} y\\&={\Bigg |}_{1}^{2}\left({\frac {7}{2}}y-{\frac {1}{2}}y^{2}\right)=2\end{aligned}}$

Esimerkki 3b:

Integroidaan ensin ${\textstyle y}$- ja sitten ${\textstyle x}$-suunnassa. Integroitaessa ${\textstyle y}$-suunnassa muuttujaa ${\textstyle x}$ kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön ${\textstyle D}$ rajoittaman kappaleen tilavuus on:

${\begin{aligned}V&=\iint _{D}(4-x-y)\,\mathrm {d} A\\&=\int _{x=0}^{1}\mathrm {d} x\int _{y=1}^{2}(4-x-y)\,\mathrm {d} y\\&=\int _{x=0}^{1}\mathrm {d} x\,{\Bigg |}_{y=1}^{2}\left(4y-xy-{\frac {1}{2}}y^{2}\right)\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {5}{2}}-x\right)\,\mathrm {d} x\\&={\Bigg |}_{0}^{1}\left({\frac {5}{2}}x-{\frac {1}{2}}x^{2}\right)=2\end{aligned}}$

Esimerkki 4

Alue ${\textstyle D}$ on yksinkertainen sekä ${\textstyle x}$- että ${\textstyle y}$-suunnissa.

Ratkaistaan itegraali ${\textstyle I=\iint _{D}e^{y^{3}}\,\mathrm {d} A}$, missä aluetta ${\textstyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ rajaavat suorat ${\textstyle x=0}$ ja ${\textstyle y=1}$ sekä käyrä ${\textstyle x=y^{2}}$ (tai ${\textstyle y={\sqrt {x}}}$). Alue ${\textstyle D}$ on säännöllinen sekä ${\textstyle x}$- että ${\textstyle y}$-suunnissa. Koska funktiolle ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\textstyle f(y)=e^{y^{3}}}$ ei voi kirjoittaa antiderivaattaa, täytyy iterointi suorittaa siten, että ensin integroidaan ${\textstyle x}$-suunnassa:

${\begin{aligned}I&=\iint _{D}e^{y^{3}}\,\mathrm {d} A\\&=\int _{y=0}^{1}\mathrm {d} y\int _{x=0}^{y^{2}}e^{y^{3}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{y=0}^{1}\mathrm {d} y\,{\Bigg |}_{x=0}^{y^{2}}xe^{y^{3}}\\&=\int _{0}^{1}y^{2}e^{y^{3}}\,\mathrm {d} y\\&={\Bigg |}_{0}^{1}{\frac {1}{3}}e^{y^{3}}={\frac {e-1}{3}}\end{aligned}}$

Esimerkki 5

Olkoon ${\textstyle A\subset \mathbb {R} ^{3}}$ suorakulmainen laatikko siten, että ${\textstyle 0\leq x\leq a}$, ${\textstyle 0\leq y\leq b}$ ja ${\textstyle 0\leq z\leq c}$, missä ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ ja ${\textstyle c}$ ovat positiivisia vakioita. Ratkaistaan integraali ${\textstyle I=\iiint _{A}(xy^{2}+z^{3})\,\mathrm {d} V}$. Avaruus ${\textstyle A}$ ''viipaloidaan'' nyt (esimerkiksi) ${\textstyle xy}$-tason suuntaisilla tasoilla, jolloin ensimmäisenä integroidaan muuttujan ${\textstyle z}$ suhteen. Nämä ''viipaleet'' ovat suorakulmioita, joten integrointi niiden yli voidaan myös suorittaa iteroimalla kummassa järjestyksessä tahansa:

${\begin{aligned}I&=\iiint _{A}(xy^{2}+z^{3})\,\mathrm {d} V\\&=\int _{z=0}^{c}\mathrm {d} z\int _{y=0}^{b}\mathrm {d} y\int _{x=0}^{a}(xy^{2}+z^{3})\,\mathrm {d} x\\&=\int _{z=0}^{c}\mathrm {d} z\int _{y=0}^{b}\mathrm {d} y\,{\Bigg |}_{x=0}^{a}\left({\frac {1}{2}}x^{2}y^{2}+xz^{3}\right)\\&=\int _{z=0}^{c}\mathrm {d} z\int _{y=0}^{b}\left({\frac {1}{2}}a^{2}y^{2}+az^{3}\right)\,\mathrm {d} y\\&=\int _{z=0}^{c}\mathrm {d} z\,{\Bigg |}_{y=0}^{b}\left({\frac {1}{6}}a^{2}y^{3}+ayz^{3}\right)\\&=\int _{0}^{c}\left({\frac {1}{6}}a^{2}b^{3}+abz^{3}\right)\,\mathrm {d} z\\&={\Bigg |}_{0}^{c}\left({\frac {1}{6}}a^{2}b^{3}z+{\frac {1}{4}}abz^{4}\right)\\&={\frac {1}{6}}a^{2}b^{3}c+{\frac {1}{4}}abc^{4}\end{aligned}}$

Muuttujanvaihto

Koordinaatistomuunnoksessa ${\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\end{cases}}$ suorat ${\textstyle u=u_{0}}$ ja ${\textstyle v=v_{0}}$ kuvautuvat käyriksi ${\begin{cases}x=x(u_{0},v)\\y=y(u_{0},v)\end{cases}}$ ja ${\begin{cases}x=x(u,v_{0})\\y=y(u,v_{0})\end{cases}}$ ${\textstyle xy}$-tasossa. Piste ${\textstyle (u_{0},v_{0})}$ kuvautuu pisteeksi ${\textstyle (x_{0},y_{0})}$.

Kuten yksiulotteisessa tapauksessa, myös moniulotteisen integraalin selvittämistä voidaan tuntuvasti helpottaa muuttujan­vaihdolla. Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Joskus integraalin tai integrointialueen kannalta on luontevampaa käyttää karteesisten koordinaattien ${\textstyle x}$ ja ${\textstyle y}$ sijaan muita koordinaattijärjestelmiä. Oletetaan, että muuttujat ${\textstyle x}$ ja ${\textstyle y}$ voidaan esittää kahden muun muuttujan, ${\textstyle u}$ ja ${\textstyle v}$, funktioina:

${\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v).\end{cases}}$

Tätä funktioparia sanotaan koordinaatistomuunnokseksi ${\textstyle uv}$-tason osajoukolta ${\textstyle D}$ ${\textstyle xy}$-tason osajoukolle ${\textstyle S}$. Muunnoksen täytyy olla injektio, jotta integrointi muuttujanvaihdolla onnistuisi. Tällöin on olemassa käänteismuunnos

${\begin{cases}u=u(x,y)\\v=v(x,y)\end{cases}}$

joukolta ${\textstyle S}$ joukolle ${\textstyle D}$. Jos funktioilla ${\textstyle x(u,v)}$ ja ${\textstyle y(u,v)}$ on olemassa jatkuvat ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ja Jacobin determinantti

${\frac {\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{vmatrix}}\neq 0$

pisteessä ${\textstyle (u,v)}$, niin myös käänteismuunnos on injektio pisteen ${\textstyle (u,v)}$ ympäristössä. Myös käänteismuunnoksella on olemassa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat ja nollasta eroava Jacobin determinantti, jolloin

${\frac {\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}=\left({\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right)^{-1}$

Koordinaatistomuunnoksessa joukolta ${\textstyle S}$ (${\textstyle xy}$-tasolta) joukolle ${\textstyle D}$ (${\textstyle uv}$-tasolle) integroitava funktio ${\textstyle f:S\to \mathbb {R} }$, ${\textstyle f(x,y)}$ muuntuu funktioksi ${\textstyle g:D\to \mathbb {R} }$,

$g(u,v)=f\left(x(u,v),y(u,v)\right)$.

Osoittautuu, että Jacobin determinantin itseisarvo on eri koordinaatistoissa esitettyjen differentiaalisten pinta-alaelementtien suhde:

$\mathrm {d} A=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right|\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

Tällöin kaksinkertainen integraali voidaan ratkaista muuttujanvaihdolla (eli koordinaatistomuunnoksella):

Olkoon ${\textstyle x=x(u,v)}$ ja ${\textstyle y=y(u,v)}$ injektioita ${\textstyle uv}$-tason osajoukolta ${\textstyle D}$ ${\textstyle xy}$-tason osajoukolle ${\textstyle S}$. Olkoon funktioilla ${\textstyle x(u,v)}$ ja ${\textstyle y(u,v)}$ olemassa joukossa ${\textstyle D}$ jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien ${\textstyle u}$ ja ${\textstyle v}$ suhteen. Jos funktio ${\textstyle f(x,y)}$ on integroituva ${\textstyle S}$:ssä ja jos ${\textstyle g(u,v)=f\left(x(u,v),y(u,v)\right)}$, niin:

$\iint _{S}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint _{D}g(u,v)\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right|\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

Kolminkertaisen integraalin ratkaiseminen muuttujanvaihdolla käy vastaavalla tavalla:

Olkoon ${\textstyle x=x(u,v,w)}$, ${\textstyle y=y(u,v,w)}$ ja ${\textstyle z=z(u,v,w)}$ injektioita ${\textstyle uvw}$-avaruuden osajoukolta ${\textstyle D}$ ${\textstyle xyz}$-avaruuden osajoukolle ${\textstyle S}$. Olkoon funktioilla ${\textstyle x(u,v,w)}$, ${\textstyle y(u,v,w)}$ ja ${\textstyle z(u,v,w)}$ olemassa joukossa ${\textstyle D}$ jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien ${\textstyle u}$, ${\textstyle v}$ ja ${\textstyle w}$ suhteen. Jos funktio ${\textstyle f(x,y,z)}$ on integroituva ${\textstyle S}$:ssä ja jos ${\textstyle g(u,v,w)=f\left(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)\right)}$, niin:

$\iiint _{S}f(x,y,z)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iiint _{D}g(u,v,w)\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}\right|\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w$

Tässä Jacobin determinatti on:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial x}{\partial w}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial w}}\\{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial w}}\end{vmatrix}}$

Muuttujanvaihto yleistyy n:lle muuttujalle:

Olkoon $\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {u} )$kuvaus avoimelta joukolta $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ avoimelle joukolle $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ siten, että Jacobin determinantti

${\frac {\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{n})}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{1}}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{2}}}&\dotsb &{\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{n}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{1}}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{2}}}&\dotsb &{\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial x_{n}}{\partial u_{1}}}&{\frac {\partial x_{n}}{\partial u_{2}}}&\dotsb &{\frac {\partial x_{n}}{\partial u_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0$.

Olkoon $D$ rajoitettu $U$:n osajoukko ja funktio $f$ integroituva kuvajoukossa $\mathbf {x} (D)\subset S$. Tällöin funktio

$f(\mathbf {x} (\mathbf {u} ))\left|{\frac {\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{n})}}\right|$

on integroituva $D$:ssä ja

$\int \dots \int _{\mathbf {x} (D)}f(\mathbf {x} )\,\mathrm {d} x_{1}\dotsb \mathrm {d} x_{n}=\int \dots \int _{D}f(\mathbf {x} (\mathbf {u} ))\left|{\frac {\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{n})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\dotsb \mathrm {d} u_{n}$.

Esimerkki 6

Sama integrointialue kuvattuna vasemmalla karteesisilla koordinaateilla ja oikealla napakoordinaateilla

Eräs käytännöllinen koordinaatistomuunnos kahdessa ulottuvuudessa on vaihtaa karteesiset koordinaatit napakoordinaateiksi:

${\begin{cases}x(r,\theta )=r\cos \theta \\y(r,\theta )=r\sin \theta ,\end{cases}}$

missä ${\textstyle r\geq 0}$ ja ${\textstyle 0\leq \theta <2\pi }$ (radiaaneina). Tämän koordinaatistomuunnoksen Jacobin determinantti on

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}=r$.

Koordinaatistomuunnos on siis injektio kaikkialla paitsi origossa.

Ratkaistaan integraali ${\textstyle \iint _{S}(y^{2}/x^{2})\,\mathrm {d} A}$, missä integrointialue ${\textstyle S}$ on ${\textstyle x}$-akselin ja suoran ${\textstyle y={\sqrt {3}}\cdot x}$ väliin jäävä osa ympyrärenkaasta ${\textstyle 0<a^{2}\leq x^{2}+y^{2}\leq b^{2}}$. Muuttujanvaihdon jälkeen integrandi on:

${\frac {y^{2}}{x^{2}}}={\frac {r^{2}\sin ^{2}\theta }{r^{2}\cos ^{2}\theta }}=\tan ^{2}\theta$

Karteesisissa koordinaateissa integrointialue on osa origokeskistä ympyrärengasta, jonka sisäsäde on ${\textstyle a>0}$ ja ulkosäde ${\textstyle b\geq a}$ ja jota raoittavat suorat ${\textstyle y=0}$ ja ${\textstyle y={\sqrt {3}}\cdot x}$. Napakoordinaateissa nämä rajat ovat vastaavasti ${\textstyle 0<a\leq r\leq b}$ sekä ${\textstyle \theta =\arctan(0)=0}$ ja ${\textstyle \theta =\arctan({\sqrt {3}})=\pi /3}$. Integraali on tällöin:

${\begin{aligned}\iint _{S}{\frac {y^{2}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y&=\iint _{D}\tan ^{2}\theta \left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\iint _{D}\tan ^{2}(\theta )\cdot \underbrace {|r|} _{=r}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{\theta =0}^{\pi /3}\tan ^{2}\theta \,\mathrm {d} \theta \int _{r=a}^{b}r\,\mathrm {d} r\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})\int _{\theta =0}^{\pi /3}(\sec ^{2}\theta -1)\,\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2}){\Bigg |}_{\theta =0}^{\pi /3}(\tan \theta -\theta )\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})\cdot \left({\sqrt {3}}-{\frac {\pi }{3}}\right),\end{aligned}}$

missä käytettiin tietoa ${\textstyle \sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta =1}$.

Esimerkki 7

Määritetään ellipsoidin ${\textstyle E}$ tilavuus, kun ${\textstyle E}$:n määrittelee yhtälö

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\leq 1$,

missä ${\textstyle a>0}$, ${\textstyle b>0}$ ja ${\textstyle c>0}$ ovat vakioita. Käytetään muuttujanvaihtoa

${\begin{cases}x(u,v,w)=au\\y(u,v,w)=bv\\z(u,v,w)=cw,\end{cases}}$

jolloin ellipsoidi ${\textstyle E}$ kuvautuu yksikköpalloksi ${\textstyle B}$, jossa

$u^{2}+v^{2}+w^{2}\leq 1$.

Jacobin determinantti tälle koordinaatistomuunnokselle on:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}={\begin{vmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{vmatrix}}=abc$

Tällöin ellipsoidin ${\textstyle E}$ tilavuus on (ks. ellipsoidin tilavuus ja pallon tilavuus):

${\begin{aligned}V&=\iiint _{E}1\,\mathrm {d} V=\iiint _{E}1\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\&=\iiint _{B}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}\right|\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w\\&=abc\iiint _{B}\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w\\&=abc\cdot ({\text{pallon }}B{\text{ tilavuus}})\\&={\frac {4}{3}}\pi abc\end{aligned}}$

Tässä esimerkissä sovellettiin sekä symmetrioiden käyttöä, että muuttujanvaihtoa.

Käytännön sovelluksia

• Funktion ${\textstyle f:D\to \mathbb {R} }$, missä ${\textstyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ on rajoitettu joukko, ja ${\textstyle xy}$-tason väliin jäävä tilavuus on

$V=\iint _{D}f(x,y)\,\mathrm {d} A$

• Kolmiulotteisen kappaleen, jota rajoittaa avaruus ${\textstyle A\subset \mathbb {R} ^{3}}$, massa saadaan kolminkertaisella integraalilla

$m=\iiint _{A}\rho (x,y,z)\,\mathbb {d} V$,

missä ${\textstyle \rho (x,y,z)}$ on kappaleen tiheys pisteessä ${\textstyle (x,y,z)\in A}$.

• Jos ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ on pinta kolmiulotteisessa avaruudessa siten, että ${\textstyle z=f(x,y)}$ on rajoitettu ja jatkuva funktio sekä ${\textstyle (x,y)\in D}$, missä ${\textstyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ on rajoitettu joukko, niin pinnan ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ pinta-ala on:

$A=\iint _{D}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} A$

• Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma ${\textstyle \rho (x,y,z)}$ alueessa ${\textstyle B\subset \mathbb {R} ^{3}}$, massakeskipiste ${\textstyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ määritetään kaavoilla:

${\begin{cases}x_{0}=\displaystyle {{\frac {1}{m}}\iiint _{B}x\rho \,\mathrm {d} V}\\y_{0}=\displaystyle {{\frac {1}{m}}\iiint _{B}y\rho \,\mathrm {d} V}\\z_{0}=\displaystyle {{\frac {1}{m}}\iiint _{B}z\rho \,\mathrm {d} V},\end{cases}}$

missä ${\textstyle m=\iiint _{B}\rho (x,y,z)\,\mathrm {d} V}$ on kappaleen kokonaismassa. Vektorimuodossa kappaleen massakeskipisteen paikkavektori ${\textstyle {\vec {r}}_{0}=x_{0}\mathbf {i} +y_{0}\mathbf {j} +z_{0}\mathbf {k} }$ on

${\vec {r}}_{0}={\frac {1}{m}}\iiint _{B}\rho {\vec {r}}\,\mathrm {d} V$,

missä ${\textstyle {\vec {r}}=x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \in \mathbb {R} ^{3}}$.

• Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma ${\textstyle \rho (x,y,z)}$ alueessa ${\textstyle B\subset \mathbb {R} ^{3}}$, hitausmomentti pyörimisakselin ${\textstyle L}$ suhteen on

$I=\iiint _{B}r^{2}\,\mathrm {d} m=\iiint _{B}r^{2}\rho \,\mathrm {d} V$,

missä ${\textstyle r}$ on differentiaalisen massaelementin ${\textstyle \mathrm {d} m=\rho \,\mathrm {d} V}$ etäisyys pyörimisakselista ${\textstyle L}$.

• Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma ${\textstyle \rho (x,y,z)}$ alueessa ${\textstyle B\subset \mathbb {R} ^{3}}$, hitaussäde pyörimisakselin ${\textstyle L}$ suhteen on

$r_{\text{g}}={\sqrt {\frac {I}{m}}}={\sqrt {\frac {\iiint _{B}r^{2}\rho \,\mathrm {d} V}{\iiint _{B}\rho \,\mathrm {d} V}}}$.

Katso myös

• Riemannin integraali
• Pintaintegraali
• Tilavuusintegraali