Avaa päävalikko
Tämä artikkeli kertoo geometrian käsitteestä. Ammattiliitto Suorasta on oma artikkeli.
Osa artikkelisarjaa
Geometria
Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

Geometriassa, topologiassa ja muilla näille rinnasteisilla matematiikan aloilla suora määritellään pisteen ominaisuuksien ja aksioomien avulla.

Jos suora katkaistaan ja toinen puolikas poistetaan, saadaan puolisuora eli säde. Jos puolisuora katkaistaan, saadaan puolisuora ja jana.

MääritelmäMuokkaa

Antiikin määritelmäMuokkaa

Antiikissa suora määriteltiin kahden pisteen ja viivaimen avulla. Valitaan tasolta kaksi pistettä. Eukleideen Alkeissa esitetyn määritelmän mukaan kahden pisteen välille voidaan aina vetää jana tai viiva. Määritelmästä on jäänyt viivain pois, joten sitä ei voi pitää täysin matemaattisena. Määritelmä on pääpiirteissään seuraava:

  1. Viiva on leveydetön pituus.
  2. Viivan äärirajat ovat pisteitä.
  3. Suora viiva on viiva, joka lepää tasaisesti pisteillään. [1][2]

Puolisuora eli säde piirretään silloin janan AB avulla niin, että janan toista päätä jatketaan samaan suuntaan pisteen C kautta äärettömän pitkälle. Kun sama toistetaan puolisuoran toiseen päähän, saadaan suora. Suora määräytyykin niiden kahden pisteen avulla, joiden kautta se kulkee. Antiikin määritelmässä korostetaan myös abstraktia käsitettä ääretön, joka tarkoitti geometriassa ”jatkamista loputtoman pitkälle”. [3]

Käyrä on suora, jos mitkä tahansa kolme suoran pistettä A, B ja C voidaan liittää kahteen janaan AB ja AC siten, että ne aina yhtyvät osan AB osalta. Toisaalta, suoran leveys on nolla, joten käyrä on suora koko pituudeltaan, jos sen projektio on piste, kun suoraa katsotaan sen kulkusuuntaan. [3][2] Tämä viimeinen testi on kirvesmiehille tuttu.

Analyyttisen geometrian määritelmäMuokkaa

Jana alkaa yhdestä pisteestä ja päättyy toiseen pisteeseen. Jana koostuu pisteistä, joita on tiheästi alku- ja loppupisteen välissä. Määritelmässä tiheällä tarkoitetaan ominaisuutta, että kahden mielivaltaisen lähellä toisiaan olevan pisteen väliin voidaan aina lisätä ainakin yksi piste lisää, mistä seuraa taas se, että pisteitä mahtuu pisteiden väliin äärettömästi.

Vaikka yhden pisteen pituus on 0, muodostuu äärettömän monen pisteen janalle ominaisuus pituus. Jana ei kuitenkaan ole leveä tai paksu, koska janalla olevilla pisteillä ei ole itsessään ominaisuutta leveys ja paksuus. Janan ominaisuudet ovat seurausta pisteiden ominaisuuksista ja niiden äärettömästä lukumäärästä.

Kukin janalla oleva piste sijaitsee omassa paikassaan. Paikka voidaan ilmoittaa numeerisesti määrittämällä esimerkiksi pisteen paikan etäisyys janan alkupisteestä. Tämä etäisyys on luku, jota kutsutaan pisteen koordinaatiksi.

Edelliseen tapaan voidaan määritellä myös pisteiden koordinaatit puolisuoralla ja suoralla. Puolisuoran pisteiden koordinaatit ovat esimerkiksi niiden etäisyys puolisuoran alkupisteestä. Suoralta tulee ensin valita piste, josta etäisyydet mitataan. Tätä pistettä kutsutaan origoksi. Pisteen etäisyys origosta on tällöin pisteen koordinaatti. Koska suora voidaan ajatella koostuvan origon molemmilla puolilla olevasta puolisuorasta, tulee koordinaatit olla positiivisia- ja negatiivisia reaalilukuja, riippuen siitä kummalla puolella origoa piste sijaitsee.

Pisteen koordinaatti janalla, puolisuoralla ja suoralla on aina yksi luku. Koska pisteen koordinaatteja tarvitaan vain yksi, sanotaan suoran olevan 1-ulotteinen olio eli sen dimensio on 1. Myös janan ja puolisuoran dimensio on 1. Koordinaattien avulla voidaan suoraa käsitellä numeerisesti esimerkiksi tietokoneella. [2]

Aksiomaattinen määritelmäMuokkaa

Nykyään suorat määritellään joukko-opin avulla käyttäen useita aksioomia, jotka määrittelevät useita ominaisuuksia, joita suoran tulee samanaikaisesti täyttää. Suoran ominaisuuksia kutsutaan aksioomiksi. Aksioomat on kirjoitettu niin, että pisteisiin viitataan isoilla kirjaimilla A, B ja C, ja suoriin pienillä kirjaimilla l ja a, tai pistepareilla esimerkiksi AB.

  1. Tasossa on olemassa osajoukkoja, joita kutsutaan suoriksi.
  2. Jokaista kahta eri pistettä   ja   kohti on olemassa yksi ja vain yksi suora   jolla   ja  
  3. Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettä. Tasossa on ainakin kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla.
  4. Suorille on määritelty relaatio välissä: Jos piste   on pisteiden   ja   välissä, niin  ,   ja   ovat suoran eri pisteitä. Tällöin   on myös pisteiden   ja   välissä.
  5. Jos   ja   ovat eri pisteitä, niin suoralla   on piste   siten että   on pisteiden   ja   välissä.
  6. (Paschin aksiooma) Olkoon piste   suoran   ulkopuolella. Olkoon   suora ja  ,  ,  . Jos   leikkaa janan  , niin se leikkaa ainakin toisen janoista   ja  .

Suora analyyttisessa geometriassaMuokkaa

Suora yksiulotteisessa avaruudessaMuokkaa

Suora täyttää yksiulotteisen avaruuden   kokonaan, jolloin kaikki avaruuden pisteet ovat suoran pisteitä. Kutakin pistettä vastaa jokin koordinaatti, joka on pisteen etäisyys origoksi valitusta pisteestä. Pisteen koodinaatti on reaaliluku  .

Suora kaksiulotteisessa avaruudessaMuokkaa

Kaksiulotteinen avaruus   tarkoittaa ääretöntä tasoa, jonne voidaan sijoittaa suora mielivaltaisesti. Koska suoran pisteet ovat koordinaattipareja  , muodostavat pisteiden koordinaatit relaation. Suoran pisteisiin pääsee käsiksi usealla erilaisella lähestymistavalla.

Kaksiulotteinen parametriesitysMuokkaa

Suora voidaan määritellä kahden pisteen   ja   avulla. Suoran mikä tahansa kolmas piste   voidaan ilmaista lausekkeella, jonka ”koordinaattina” on parametri  

 

Jos suoran pisteet ovat kaksiulotteisia, saadaan   ja  koordinaateille parametrimuotoinen esitys

  eli  

missä   ja   ovat kulmakertoimia.

Kaksiulotteinen vektoriesitys suuntavektorin avullaMuokkaa

Sama parametrimuotoinen esitys voidaan ilmaista parametrimuotoisena vektoriesityksenä, jossa pisteet esitetään pystyvektoreilla  

 

Jos merkitään     ja   saadaan suoran pisteiden vektoriksi  

 

Vektoria   kutsutaan suuntavektoriksi ja vektori   on yksi suoran pisteen paikkavektori.

 
Suora   karteesisessa koordinaatistossa. Luku   on suoran kulmakerroin ja luku 1 sen vakiotermi.

Suoran yhtälöMuokkaa

Edellisestä parametrimuotoisesta esityksestä voidaan muodostaa suoran koordinaateille tunnetumpi relaatioesitys. Ratkaistaan luvun   lausekkeesta parametri  

 

joka sijoitetaan y:n lausekkeeseen

 

eli

  

jota kutsutaan suoran kahden pisteen esitykseksi pisteillä   ja   Merkitsemällä   saadaan yksinkertaisempi yhtälö

 

missä  

Tämä on suoran pisteiden   ja  koordinaattien välinen relaatio  , jota kutsutaan suoran yhtälöksi. Yhtälön tätä muotoa

 

kutsutaan termillä y:n suhteen ratkaistu muoto. Yhtälössä kerrointa   kutsutaan kulmakertoimeksi ja lukua   vakiotermiksi. Toisaalta mahdollinen on myös

 

jota kutsutaan termillä x:n suhteen ratkaistu muoto. Siinä   on kulmakerroin ja   vakiotermi. Jos y:n suhteen ratkaistusta muodosta kirjoitetaankin

 
 

saadaan yleinen muoto

 

missä     ja   Kerroin   voidaan kirjoittaa kaksirivisenä determinanttina:

 

Kaksiulotteinen vektoriesitys normaalivektorin avullaMuokkaa

Suoran suunta voidaan esittää suuntavektorin asemasta normaalivektorilla, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan eli myös suuntavektoria vastaan. Valitaan suuntavektorin suuntainen erotusvektori  , jossa   on yksi suoran pisteiden paikkavektori. Merkitään normaalivektoria  . Silloin nämä ovat kohtisuorassa ja niiden pistetulo on nolla

 

eli

 .

Viimeisestä vaiheessa

 
 

missä  

 

Normaalivektorin   koordinaatit   ja   ovat suoran normaalimuotoisen yhtälön kertoimet.

Muita suoran muodostamistapojaMuokkaa

Kulmakertoimen avullaMuokkaa

Jos pisteet   ja   ovat eräät suoran pisteistä, ja suoran yleinen piste merkitään  , voidaan suoran kulmakerroin ilmaista kahdella tavalla:

 
Suoran yhtälö nollakohtien avullaMuokkaa

Suora voidaan määrittää käyttämällä tietoa siitä, missä suora ja koordinaattiakselit leikkaavat toisensa. Jos näitä leikkauspisteitä merkitään koordinaattipareilla, saadaan suoran ja x-akselin leikkauspisteeksi   ja vastaavasti y-akselin leikkauspisteeksi  . Mikäli leikkauskohdat ovat muualla kuin origossa, saadaan suoran yhtälöksi

 
Suoran yhtälö etäisyydellä origostaMuokkaa

Jos suoralle piirretään origosta korkeusjana ja mitataan korkeusjanan suuntakulma   sekä suoran etäisyys   origosta, voidaan suoran yhtälö ilmaista

 

Suora kolmiulotteisessa avaruudessaMuokkaa

Kolmiulotteisen avaruuden suora voidaan määritellä vektorien avulla. Olkoot   ja   pisteiden paikkavektoreita kolmiulotteisessa avaruudessa  . Aiemminkin kirjoitettiin

 

missä pisteet on korvattu kolmiulotteisilla paikkavektoreilla. Vektorimuotoinen parametriesitys näyttää pystyvektoreilla kirjoitettuna

 

Parametrin kertoimena olevaa vektorierotusta

 

kutsutaan suuntavektoriksi. Suora on suuntavektorinsa kanssa yhdenssuuntainen. Pistettä

 

kutsutaan paikkavektoriksi.   on eräs suoran pisteistä. Suoran vektoriesitys voidaan ilmaista yksinkertaisemmin

 

Vektorimuotoisesta parametriesityksestä voidaan siirtyä suoraan parametrimuotoiseen esitykseen

 

Suora voidaan avaruudessa määritellä myös kahden tason leikkauksena.

LähteetMuokkaa

  • Väisälä K.: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
  • Weisstein, Eric W.: Line (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  • Weisstein, Eric W.: Line-Line Intersection (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  • Weisstein, Eric W.: Line-Line Angle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  • Weisstein, Eric W.: Skew Lines (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

ViitteetMuokkaa

  1. D. E. Joyce: Elementa, kirja I, Clakin Yliopisto, 1996
  2. a b c Weisstein, Eric W.: Line, Wolfram Mathworld
  3. a b Väisälä: Geometria, s. 1–3

KirjallisuuttaMuokkaa