Avaa päävalikko
Tämä artikkeli käsittelee matemaattista käsitettä. Muita merkityksiä, katso Vektori (täsmennyssivu).

Vektori on matematiikassa vektoriavaruuden alkio. [1] Tyypillisesti vektori on n:n muun alkion (usein reaali- tai kompleksilukujen) järjestetty joukko. Alkioiden lukumäärä n ilmaisee myös vektorin ulottuvuuden. Tällainen vektori on matriisin erikoistapaus eli matriisi, jonka leveys on yksi.

Laajemmassa merkityksessä vektorin ei kuitenkaan tarvitse olla järjestetty lukujoukko eikä muukaan järjestetty joukko, vaan vektoreita voivat olla mitkä tahansa oliot, joiden välillä vektoriavaruuden laskutoimitukset on määritelty. Tämä vektorien yleiskäyttöisyys on tehnyt lineaarialgebrasta tehokkaan matemaattisen työkalun.

Fysiikassa monien suureiden arvo voidaan ilmaista vektorina, jolla on suuruus ja suunta. Yksinkertainen esimerkki on nopeusvektori, jonka suuruus on vauhti ja suunta etenemissuunta.

Vektorit voidaan merkitä lihavoiduilla kirjaimilla, esimerkiksi tai merkitsemällä vektorisuureen tunnuksen yläpuolelle oikealle osoittava nuoli, esimerkiksi .

Sisällysluettelo

Vektorit geometriassa ja fysiikassaMuokkaa

Geometriassa ja fysiikassa vektoreita käytetään kuvaamaan suureita, joihin suuruuden lisäksi liittyy määrätty suunta. Käytettyjen vektorien alkiot ovat reaalilukuja. Tasogeometriassa käytetyt vektorit voidaan esittää kahden, kolmiulotteisessa avaruusgeometriassa ja useimmissa fysikaalisissa sovelluksissa käytetyt vektorit kolmen reaaliluvun järjestettyinä joukkoina. Geometrisesti vektoreita voidaan kuvata janoilla, joiden toiseen päähän on tapana merkitä nuolenkärki. Tällöin kuitenkin kaikki suunnatut janat, jotka ovat yhtä pitkiä ja samansuuntaisia, katsotaan ekvivalenteiksi, toisin sanoen ne esittävät samaa vektoria. Lukujonona tällaisissa vektoreissa on vain kolme tai tasogeometriassa kaksi lukua, joista ensimmäinen vastaa tämän janan projektiota x-akselin suunnassa, toinen y-akselin suunnassa ja kolmas z-akselin suunnassa. Erikoistapauksena on nollavektori, jossa kaikki nämä luvut ovat nollia. Sen suunta on määräämätön (mielivaltainen) ja pituus 0.

Geometriassa vektorilla voidaan kuvata annetun pisteen sijaintia suhteessa toiseen pisteeseen. Pisteen paikkavektori kuvaa sen sijainnin suhteessa koordinaatiston origoon, ja sen alkioina ovat pisteen koordinaattien arvot. Fysiikassa esimerkiksi nopeus on vektorisuure, ja sen itseisarvo, vauhti, on skalaari. Fysiikan eri aloilla tärkeitä vektorisuureita ovat myös kiihtyvyys ja voima sekä sähkö- ja magneettikenttien voimakkuudet.

Tyypillinen vektori l. pystyvektoriMuokkaa

Mikäli vektori on järjestetty joukko, se voidaan esittää muodossa:

 

jossa kaikki alkiot   kuuluvat johonkin joukkoon. Joskus tilan säästämiseksi vektorit kirjoitetaan vaakavektoreina muodossa   tai tulkitaan matriisin transpoosiksi  .

Yleisiä laskutoimituksiaMuokkaa

Yleisiä vektoriavaruudelle määriteltyjä laskutoimituksia ovat vektoreiden  summa:

 

sekä kerroinkunnan alkiolla kertominen  :

 

Näiden lisäksi usein vektoriavaruuksissa määritellään normi, joka on vektorin pituuden yleistys

 .

Tällöin vektoreiden sanotaan muodostavan normiavaruuden.

Vektoreille voidaan myös määritellä pistetulo, joka ilmaisee vektoreiden samansuuntaisten komponenttien tulon. Pistetulo merkitään muodossa

 ,

missä   on vektoreiden välinen kulma. Pistetuloa voidaan merkitä symbolilla

 ,

sillä pistetulo on erikoistapaus sisätulosta ja pistetulolla täydennettyä vektoriavaruutta kutsutaankin sisätuloavaruudeksi.

Perusavaruuksien vektoritMuokkaa

Jos kaikki n-ulotteisen vektorin

 

alkiot   ovat reaalilukuja ts.  , niin a on reaaliarvoinen vektori, merkitään  .

Vastaavasti jos kaikki alkiot ovat kompleksilukuja, on vektori kompleksiarvoinen vektori, eli  

Jos vektori kuuluu avaruuteen   voidaan se piirtää myös koordinaatistoon. Jos vektori piirretään alkamaan origosta (paikkavektori), sen kärkipiste osoittaa komponenttien lukuarvojen mukaista koordinaatiston pistettä. Eli esim. vektorin

 

kärki on pisteessä (7, -5). Vastaava suhde löytyy myös avaruuden   vektoreilla kolmiulotteiseen koordinaatistoon. Usein nämä vektorit rinnastetaankin koordinaatiston pisteisiin. Kyseessä on kuitenkin tarkkaan ottaen eri asia.

Reaaliavaruuden laskutoimituksiaMuokkaa

Reaaliavaruudessa   laskutoimituksille on käytössä seuraavat määritelmät.

Yhteen- ja vähennyslaskuMuokkaa

 
Vektorit a ja b sekä niiden summavektori a+b.

Kaksi reaaliavaruuden vektoria lasketaan yhteen laskemalla niiden vastaavat alkiot yhteen:

 

Vastaavasti vektorista vähennetään toinen vektori vähentämällä ensimmäisen vektorin kustakin alkiosta jälkimmäisen vektorin vastaava alkio:

 

Samoin kuin reaalilukujen, myös vektorien yhteenlasku noudataa vaihdanta- ja liitäntälakia, toisin sanoen vektoreillekin pätee:

 

ja

 .

Tason tai kolmiulotteisen avaruuden vektorien yhteenlaskulla on yksinkertainen geometrinen tulkinta. Piirretään samasta pisteestä alkamaan vektoreita a ja b vastaavat suuntajanat sekä suunnikas, jonka kahtena sivuna ne ovat. Tällöin vektorien summa vastaa samasta pisteestä lähtevää suunnikkaan lävistäjää.

Vektorin kertominen luvullaMuokkaa

Vektori kerrotaan reaaliluvulla eli skalaarilla kertomalla sen jokainen alkio kyseisellä skalaarilla.

 

Jos kerroin a on positiivinen, tuloksena saatavaa vektoria esittävä jana on samansuuntainen alkuperäisen kanssa, mutta sen pituus on alkuperäiseen verrattuna a-kertainen. Jos a on negatiivinen, saatu vektori on alkuperäiseen nähden vastakkaissuuntainen, ja vastaavan janan pituus on -a-kertainen.

Pituus eli normiMuokkaa

Vektorin x pituus   eli normi määritellään vektorin alkioiden ( ) neliöiden summan neliöjuurena lausekkeella

 .

YksikkövektoritMuokkaa

Jos vektorin pituus on 1, sitä sanotaan yksikkövektoriksi.

Erityisen tärkeitä ovat koordinaattiakselien suuntaiset yksikkövektorit. Tavallisesti käytetään tasossa   ja kolmiulotteisessa avaruudessa   x-akselin suuntaiselle yksikkövektorille merkintää   ja y-akselin suuntaiselle merkintää  , kolmiulotteisessa avaruudessa lisäksi z-akselin suuntaiselle merkintää  . Tällöin tason vektori

 

voidaan kirjoittaa myös muotoon  

ja vastaavasti kolmiulotteisen avaruuden vektori

 

muotoon  

Skalaaritulo eli pistetuloMuokkaa

Pistetulo on kahden vektorin välinen erikoistapaus sisätulosta. Se yleistyy suoraan  -ulotteisen avaruuden vektoreille.

 , kun  , missä   on vektoreiden x ja y välinen kulma.

Vektoreille x = ai + bj + ck ja y = di + ej + fk pistetulo voidaan laskea myös kaavalla "vektoreiden x ja y pistetulo" = ad + be + cf.

Pistetulo noudattaa vaihdanta- ja osittelulakia, toisin sanoen jos a, b ja c ovat vektoreita, pätee:

 

ja

 .

Liitäntälaki sen sijaan ei ole mielekäs, koska pistetulo on skalaari eikä sen ja vektorin välinen pistetulo ole määritelty.

Pistetulon sovellutuksiaMuokkaa

Jos voima vaikuttaa liikkeen suuntaan, työ (W) voidaan laskea pelkkänä voiman (F) ja matkan (s) tulona:

 

Jos voima on eri suuntainen kuin liike, työ pitää laskea voimavektorin ja liikevektorin pistetulona:

 

Vektoritulo eli ristituloMuokkaa

Ristitulo on esimerkki ulkoisesta tulosta. Se on määritelty ainoastaan  :n ja  :n vektoreille

 

missä e on vektoreita x ja y (siis näiden määrittelemää tasoa) vastaan kohtisuora yksikkövektori (eli vektori, jonka normi  ) ja vektorit x, y ja e muodostavat oikeakätisen koordinaatiston, toisin sanoen ristitulovektorin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti.

Määritelmästä seuraa, että ristitulo ei noudata vaihdantalakia, vaan sen etumerkki vaihtuu, jos sen tekijät vaihdetaan keskenään:

 .

Karteesisessa koordinaatistossa x,y ja z akselien suuntaisilla yksikkövektoreilla   määriteltyjen vektoreiden   ja   ristitulo voidaan laskea determinantin avulla:

 
 
 

Erityisesti koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektorien ristitulot ovat:

 ,  
 ,  
 ,  
 

Mikäli vektorit ovat yhdensuuntaiset, on niiden ristitulo nolla.

Perusfysiikassa ristitulo esiintyy esim. voiman momentin kaavassa.

SkalaarikolmituloMuokkaa

Kolmelle vektorille a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) ja c = (c1, c2, c3) määritellään skalaarikolmitulo eli lyhemmin kolmitulo V seuraavasti:

 

Skalaarikolmitulon itseisarvo on sama kuin vektorien a, b ja c muodostaman suuntaissärmiön tilavuus, ja se voidaan laskea myös seuraavasti:

 .

EsimerkkiMuokkaa

Esimerkki selkokielellä tasogeometrian näkökulmasta.

Liikutaan XY-koordinaatistossa. Lähdetään liikkeelle origosta (0,0), kuljetaan ensin kaksi ylös (vektori  ) ja sitten kaksi oikealle (vektori  ), jolloinka päädytään pisteeseen (2,2).

Vektorien muutosta ilmaistaan muuttujilla "i" ja "j", jossa "i" ilmoittaa x-akselin suuntaista liikkumista, ja "j" y-akselin suuntaista liikkumista.

Lasketaan muutokset:   . Yhteenlaskulla saadaan:  , poistamalla kirjaimet saadaan loppupiste (2,2).

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 403. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa