Avaa päävalikko

Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin determinantti merkitään:[1]

Matriisin alimatriisi saadaan poistamalla matriisista :s vaakarivi ja :s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia sanotaan alkion alideterminantiksi.

Determinantti merkitsee matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. Fysiikassa matriisin determinantti merkitsee momenttia.

MääritelmäMuokkaa

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin   determinantti on

 

,jossa   on eräs  :n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja

 

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi   determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

 

LaskusääntöjäMuokkaa

  •  
  •  , jossa A ja B ovat molemmat n   n -matriiseja.
  • Jos A:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla
 
  • Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,
 
  • Jos matriisi A1 saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi vakiolla c,
 
  • Jos matriisi A on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.
  • Jos matriisi A1 saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,
 

Sarrus’n sääntö on eräs menetelmä ja muistisääntö 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi.

Determinantin laskeminenMuokkaa

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:

 

,jossa Aij on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

 

Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo   matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

 

,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja   ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

  1. Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja:  .
  2. Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla:  .
  3. Kun kerrotaan rivi vakiolla k:  .

Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.

Alkion komplementtiMuokkaa

määritellään alkion   komplementti eli kofaktori

 .

Matriisin   adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään

 .

Determinantin käyttäminenMuokkaa

Neliömatriisia   sanotaan singulaariseksi, jos  . Jos  , matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille   pätee

  ja  .

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

LähteetMuokkaa

  1. Weisstein, Eric W.: "Determinant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
  • de Boor, Carl (1990), "An empty exercise" (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273.
  • Lay, David C. (22 elokuuta 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
  • Meyer, Carl D. (15 helmikuuta 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on 2009-10-31
  • Muir, Thomas (1960) [1933], A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover
  • Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
  • G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 MR0019078
  • Horn, R. A.; Johnson, C. R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
  • Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
  • Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall

Muita lineaarialgebraan liittyviä kirjojaMuokkaa

  • Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
  • Grassmann, Hermann (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, Leipzig: O. Wigand
  • Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
  • Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
  • Bretscher, Otto (2004), Linear Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-145334-0
  • Farin, Gerald; Hansford, Dianne (2004), Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox, AK Peters, ISBN 978-1-56881-234-2
  • Hefferon, Jim (2008), Linear Algebra
  • Kolman, Bernard; Hill, David R. (2007), Elementary Linear Algebra with Applications (9th ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-229654-0
  • Lay, David C. (2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
  • Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-185785-8
  • Murty, Katta G. (2014) Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4366-62-5. Chapter 1: Systems of Simultaneous Linear Equations
  • Poole, David (2010), Linear Algebra: A Modern Introduction (3rd ed.), Cengage – Brooks/Cole, ISBN 978-0-538-73545-2
  • Ricardo, Henry (2010), A Modern Introduction To Linear Algebra (1st ed.), CRC Press, ISBN 978-1-4398-0040-9
  • Sadun, Lorenzo (2008), Applied Linear Algebra: the decoupling principle (2nd ed.), AMS, ISBN 978-0-8218-4441-0
  • Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (5th ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6
  • The Manga Guide to Linear Algebra (2012), by Shin Takahashi, Iroha Inoue and Trend-Pro Co., Ltd., ISBN 978-1-59327-413-9
  • Axler, Sheldon (February 26, 2004), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-98258-8
  • Bhatia, Rajendra (November 15, 1996), Matrix Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-94846-1
  • Demmel, James W. (August 1, 1997), Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-389-3
  • Dym, Harry (2007), Linear Algebra in Action, AMS, ISBN 978-0-8218-3813-6
  • Gantmacher, Felix R. (2005), Applications of the Theory of Matrices, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44554-0
  • Gantmacher, Felix R. (1990), Matrix Theory Vol. 1 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1376-8
  • Gantmacher, Felix R. (2000), Matrix Theory Vol. 2 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2664-5
  • Gelfand, Israel M. (1989), Lectures on Linear Algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66082-0
  • Glazman, I. M.; Ljubic, Ju. I. (2006), Finite-Dimensional Linear Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-45332-3
  • Golan, Johnathan S. (January 2007), The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know (2nd ed.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5
  • Golan, Johnathan S. (August 1995), Foundations of Linear Algebra, Kluwer, ISBN 0-7923-3614-3
  • Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (October 15, 1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd ed.), The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
  • Greub, Werner H. (October 16, 1981), Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-8018-5414-9
  • Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., MR 0276251
  • Halmos, Paul R. (August 20, 1993), Finite-Dimensional Vector Spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-90093-3
  • Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (September 7, 2018), Linear Algebra (5th ed.), Pearson, ISBN 978-0-13-486024-4
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (February 23, 1990), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (June 24, 1994), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1
  • Lang, Serge (March 9, 2004), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-96412-6
  • Marcus, Marvin; Minc, Henryk (2010), A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities, Dover Publications, ISBN 978-0-486-67102-4
  • Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on October 31, 2009
  • Mirsky, L. (1990), An Introduction to Linear Algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
  • Roman, Steven (March 22, 2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-24766-3
  • Shafarevich, I. R.; Remizov, A. O (2012), Linear Algebra and Geometry, Springer, ISBN 978-3-642-30993-9
  • Shilov, Georgi E. (June 1, 1977), Linear algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-63518-7
  • Shores, Thomas S. (December 6, 2006), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-33194-2
  • Smith, Larry (May 28, 1998), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98455-1
  • Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-898-71361-9
  • Leduc, Steven A. (May 1, 1996), Linear Algebra (Cliffs Quick Review), Cliffs Notes, ISBN 978-0-8220-5331-6
  • Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (December 6, 2000), Schaum's Outline of Linear Algebra (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-136200-9
  • Lipschutz, Seymour (January 1, 1989), 3,000 Solved Problems in Linear Algebra, McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-038023-3
  • McMahon, David (October 28, 2005), Linear Algebra Demystified, McGraw–Hill Professional, ISBN 978-0-07-146579-3
  • Zhang, Fuzhen (April 7, 2009), Linear Algebra: Challenging Problems for Students, The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-9125-0