Avaa päävalikko

Matriisi

riveihin ja sarakkeisiin jaettu taulukko
Tämä artikkeli kertoo matemaattisesta käsitteestä. Matriisi on myös kirjakkeen valmistamiseen käytetty muotti.
Matriisi

Matriisi on matematiikassa suorakulmainen riveihin ja sarakkeisiin jaettu taulukko, jonka alkiot ovat lukuja (usein reaali- tai kompleksilukuja) tai lausekkeita. Matriiseja käytetään yleisesti kaksiulotteisen tiedon havainnollistamiseen sekä lineaaristen yhtälöryhmien käsittelyyn ja ratkaisemiseen.

Sisällysluettelo

MääritelmäMuokkaa

Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisia, jossa on m kappaletta rivejä ja n kappaletta sarakkeita kutsutaan tyypin   matriisiksi ja sitä merkitään seuraavalla tavalla:[1]

 

Rivillä i ja sarakkeessa j olevaa matriisin alkiota merkitään   tai  . Lävistäjäalkio on alkio, jolla i=j.

Tavallisia matriisejaMuokkaa

Yksikkömatriisi   on mielivaltaisen kokoinen neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia.   yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla  .[1] Tällöin pätee  , kun  , ja muuten  .

 [2]

Nollamatriisi   on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.

Neliömatriisilla on yhtä monta riviä ja saraketta.[1]

Lävistäjämatriisi (engl. diagonal matrix) on neliömatriisi jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia.[1] Matriisille   pätee että   kun  :

 

1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.

Matriisia, jossa on m vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja n saraketta, kyseessä on vaakavektori.

Transpoosi ja symmetrisyysMuokkaa

Matriisin A transpoosi (merk. AT) saadaan, kun matriisin sarakkeet vaihdetaan riveiksi tai vastaavasti rivit vaihdetaan sarakkeiksi. Esimerkiksi:

jos  , niin  .

Matriisi on symmetrinen jos se on sama kuin transpoosinsa, eli  .

Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissaMuokkaa

Skalaarilla kertominenMuokkaa

Matriisi   kerrotaan skalaarilla   siten, että jokainen  :n alkio kerrotaan skalaarilla c:

 

Yhteenlasku[3]Muokkaa

Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisien tulee olla saman muotoisia, jotta yhteenlasku on mahdollista.

Matriisien   ja   summa on  

Kertolasku[4]Muokkaa

 
Matriisien kertolasku.

Tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakarivien ja toisen matriisin pystyrivien pistetuloista. Olkoon matriisi A kokoa   ja B kokoa  . Tällöin matriisien A ja B tulo AB on kokoa  . Nyt   missä kukin   on matriisin A vaakavektori, ja   matriisin B pystyvektori. On tärkeää huomata, että matriisin A sarakkeiden määrän täytyy olla sama kuin matriisin B vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

EsimerkkiMuokkaa

     

Tärkeimmät laskusäännötMuokkaa

Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille  ,   ja  , mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on:  

On huomattava, että yleisesti  , so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.

Determinantti[5]Muokkaa

Pääartikkeli: determinantti

Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin   determinantti merkitään:

 

Matriisin   alimatriisi   saadaan poistamalla matriisista  :s vaakarivi ja  :s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia   sanotaan alkion   alideterminantiksi.

Determinantti merkitsee matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. Fysiikassa matriisin determinantti merkitsee momenttia.

MääritelmäMuokkaa

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin   determinantti on

 

,jossa   on eräs  :n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja

 

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi   determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

 

LaskusääntöjäMuokkaa

  •  
  •  , jossa A ja B ovat molemmat n   n -matriiseja.
  • Jos A:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla
 
  • Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,
 
  • Jos matriisi A1 saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi vakiolla c,
 
  • Jos matriisi A on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.
  • Jos matriisi A1 saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,
 

Determinantin laskeminenMuokkaa

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:

 

,jossa Aij on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

 

Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo   matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

 

,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja   ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

  1. Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja:  .
  2. Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla:  .
  3. Kun kerrotaan rivi vakiolla k:  .

Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.

Alkion komplementtiMuokkaa

määritellään alkion   komplementti eli kofaktori

 .

Matriisin   adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään

 .

Determinantin käyttäminenMuokkaa

Neliömatriisia   sanotaan singulaariseksi, jos  . Jos  , matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille   pätee

  ja  .

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

Matriisit ja lineaarikuvauksetMuokkaa

Jokaista äärellis­ulotteista lineaarikuvausta   vastaa tietty   kokoinen matriisi. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtö­avaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvaus­avaruuden vektorien ulottuvuus. Matriisin kukin sarake osoittaa sen kuvaus­avaruuden vektorin, joksi jokin lähtö­avaruuden kanta­vektoreista kuvautuu. Muut vektorit kuvataan kuvaus­avaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla.

Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos lineaari­kuvauksen matriisi on kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi.[6]

Lineaariset yhtälöryhmätMuokkaa

Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on   ehtoa ja   tuntematonta muuttujaa, on muotoa:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
    :
    :
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm,

Sama voidaan esittää matriisilla   ja  -pituisilla vektoreilla   ja   lyhyesti muodossa  :

 

Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.

Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyysMuokkaa

Neliömatriisi   on säännöllinen eli kääntyvä mikäli on olemassa matriisi   siten että   ja  . Muussa tapauksessa matriisi   on singulaarinen. Matriisia   kutsutaan matriisin   käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla  . Säännölliset  -matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen jota merkitään  . Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.

Oletetaan että lineaarisessa yhtälöryhmässä   on   ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis   on   neliömatriisi. Matriisin   säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli   on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori   mikä hyvänsä. Mikäli   on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin   arvosta.

Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on että matriisi   on säännöllinen jos ja vain jos  .

HistoriaMuokkaa

Englanninkielisen sanan Matrix tässä merkityksessä otti tiettävästi käyttöön matemaatikko James Joseph Sylvester vuonna 1850: [7]

»For this purpose we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants ...»

Sana (lat. matrix ’kohtu’ < mater ’äiti’ [8]) viittaa siihen, että matriisista voi muodostaa erilaisia determinantteja ”kuin saman vanhemman kohdusta” (”as from the womb of a common parent”).[9]

LähteetMuokkaa

  1. a b c d Weisstein, Eric W: "Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.
  2. Weisstein, Eric W: "Identity matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.
  3. Weisstein, Eric W.: "Matrix Addition." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.
  4. Weisstein, Eric W.: "Matrix Multiplication." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.
  5. Weisstein, Eric W.: "Determinant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.
  6. Stover, Christopher ja Weisstein, Eric W.: "Matrix Inverse." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 23.10.2014.
  7. Additions to the articles in the September number of this journal, ”On a new class of theorems,” and on Pascal’s theorem. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1850, 37. vsk, s. 363–370. Taylor & Francis. Artikkelin verkkoversio Viitattu 20.1.2018.
  8. Merriam-Webster dictionary (Hakusana matrix) merriam-webster.com. Viitattu 20.1.2018.
  9. The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, s. 247. Paper 37. American Mathematical Society, 2005. Teoksen verkkoversio (viitattu 20.1.2018).

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa