Rengas (matematiikka)

yhteen- ja kertolaskun ja joukon sisältävä algebrallinen rakenne

Rengas on keskeinen algebrassa käytetty matemaattinen käsite. Se on käsitteen kunta yleistys. Rengas sisältää kaksi laskutoimitusta: yhteen- ja kertolaskun. Yhteenlaskun suhteen se on Abelin ryhmä. Kertolaskun suhteen ryhmällä on olemassa neutraalialkio "1" ja voimassa assosiatiivi- ja distributiivilait (vrt. monoidi).[1]

Pseudorengas määritellään kuten rengas mutta vaatimatta neutraalialkion olemassaoloa.[2] Jotkin harvat teokset määrittelevät renkaiksi myös pseudorenkaat, tämä artikkeli ei.

Kuntia ovat ne renkaat, joissa kertolaskukin on kommutatiivinen (vaihdannainen, ), joka alkiolla on käänteisalkio (jolla ) ja (eli nollarengasta ei määritellä kunnaksi, vaikka sekin on nuo muut ehdot täyttävä rengas).

Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):

Rngas eli pseudorengasrengaskommutatiivinen rengaskokonaisaluefaktoriaalinen kokonaisaluepääideaalialueeuklidinen aluekuntaAlgebrallisesti suljettu kunta

Esimerkkejä

muokkaa

Kunnat, kuten rationaaliluvut ℚ, reaaliluvut ℝ ja kompleksiluvut ℂ, ovat kommutatiivisia renkaita. Seuraavassa on esimerkkejä renkaista, jotka eivät ole kuntia.

Kokonaislukujen joukko   on kommutatiivinen rengas (muttei kunta, koska vain ykkösellä on käänteisalkio joukossa  ).

Neliömatriisien joukko (matriisitulolla) on rengas muttei kommutatiivinen, jos matriisissa on enemmän kuin yksi rivi. Tämä on totta silloinkin, jos ei puhuta reaalilukujen matriiseista vaan jonkin muun renkaan   alkioiden muodostamista matriiseista (paitsi jos renkaassa   on pelkkä nolla-alkio, jolloin neliömatriisien joukko   on kommutatiivinen).

Jos   on kommutatiivinen rengas (esimerkiksi reaalilukujen joukko  ), niin kaikkien  -kertoimisten yhden muuttujan polynomien joukko

 

on kommutatiivinen rengas, samoin jopa   eri muuttujan polynomien joukko. Vain vakioilla on käänteisalkio renkaassa  , koska polynomin   asteluku on vähintään polynomin   asteluku, kun  , eli se ei voi olla neutraalialkion   asteluku 0, jos  :n asteluku on positiviinen.

Kokonaisluvut modulo 4

muokkaa

Joukko   (sitä voi ajatella joukkona   siten, että laskujen tuloksista otetaan jakojäännös  :llä) varustettuna alla mainituilla operaatioilla on kommuntatiivinen rengas:

  • Summa   on jakojäännös, kun luku   jaetaan luvulla  . Esimerkiksi   ja  
  • Tulo   on jakojäännös, kun luku   jaetaan luvulla  . Esimerkiksi   ja  

Luku   on kertolaskun neutraalialkio (koska   kaikilla  ) ja luvun   käänteisalkio   on   (koska  ), mutta luvulla   ei ole käänteisalkiota, koska kerrottaessa sitä jollain luvulla tuloksena on aina   tai  , ei  . Tämä rengas ei siis ole kunta.

Määritelmä

muokkaa

Ryhmä   on rengas binääristen operaatioiden   ja   suhteen (merkitään  ) kun se toteuttaa seuraavat ehdot:

  1.  ,
  2.  ,
  3.  ,
  4.  ,
  5.  ,
  6.  ,
  7.  ,
  8.  ,
  9.  .
  10.  .

Toisin sanoen

  1.   on Abelin ryhmä operaation   suhteen (1, 3, 5, 7, 8).
  2.   on monoidi operaation   suhteen (2, 4, 6).
  3. operaatio   on distributiivinen (9, 10).

Jos   on kommutatiivinen,   on kommutatiivinen rengas.

Rengas on siis monoidia ja ryhmää monimutkaisempi rakenne jo siinä mielessä, että se yhdistää kaksi operaatiota. Näin rengas eroaa olennaisesti suorasta tulosta.

Kannattaa huomata, etteivät edellä merkityt  ,  ,   ja   eivät tarkoita lukujen yhteen- tai kertolaskua, tai lukuja 1 tai 0, vaan joukossa käytettäviä operaattoreita ja joukon alkioita. Tosin lukurenkaista puhuttaessa nämä ovat usein yhteneviä.

Kuten muillekin algebrallisille struktuureille, renkaiden välille voidaan määritellä rakenteen säilyttävä kuvaus eli homomorfismi.

Esimerkkejä:

  1. Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen. Kannattaa huomata, että vaikka luvuilla onkin yhteenlaskun suhteen käänteisalkio, kertolaskun suhteen sitä ei ole.
  2. Kompleksilukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen.
  3. Imaginaarilukujen joukko ei yksinään voi muodostaa rengasta, jossa on kertolasku, sillä kertolaskun yksikköalkio on luku 1, eikä se kuulu imaginaarilukujen joukkoon. Lisäksi imaginaarilukujen joukko ei ole kertolaskun suhteen suljettu.

Kääntyvät alkiot ja nollanjakajat

muokkaa

Renkaan   alkio   on kääntyvä eli säännöllinen, jos on olemassa sellainen ryhmän  :n alkio  , että  ; silloin tätä alkiota u kutsutaan yleisesti yksiköksi.  :n kääntyvien alkioiden joukosta, eli yksikköryhmästä, käytetään merkintää  .   on ryhmä, mikä todistetaan seuraavasti:

  1. Koska  , kääntyvien alkioiden joukko ei ole tyhjä.
  2.  :n ykkösalkio on  .
  3. Oletetaan, että  . Tällöin  , joten kääntyvien alkioiden joukko on suljettu kertolaskun suhteen.
  4.   on assosiatiivinen, koska   on assosiatiivinen  :n suhteen.

Nollasta poikkeavaa alkiota   sanotaan nollanjakajaksi, jos on nollasta poikkeava  , jolle  . Tällöin tietysti myös   on nollanjakaja. Kommutatiivista rengasta, jossa ei ole nollanjakajia, sanotaan kokonaisalueeksi.

Renkaan alkioista kääntyvät alkiot käyttäytyvät yleensä kaikkein säännöllisimmin, kun taas nollanjakajat vaikeuttavat tarkastelua. Erityisesti supistamissääntö   on voimassa vain, jos   ei ole nollanjakaja. Tästä seuraa muun muassa se, että astetta n olevalla polynomilla, jonka kertoimet ovat  :n alkioita, voi olla enemmän kuin n juurta, jos ryhmässä   on nollanjakajia.

Voidaan todistaa, että jos  , niin   eli renkaassa ei ole muita alkioita kuin  .[3] Yleensä[3][4][5] (ei aina) kunnat määritellään niin, että tämä "nollarengas" ei ole kunta.

Lähteet

muokkaa
  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 340–341. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
  2. Kerkko Luosto: Vaihdannaiset renkaat Tampereen yliopisto.
  3. a b Jokke Häsä: Algebra II (sivu 5) kevät 2010. Helsingin yliopisto.
  4. Kerkko Luosto: Lineaarialgebra 2 (sivu 2: K\{0} on Abelin ryhmä eli sisältää neutraalialkion) Kevät 2014. Tampereen yliopisto.
  5. Jouni Parkkonen: Algebra (sivu 25: #R>=2) Jyväskylän yliopisto.

Kirjallisuutta

muokkaa