Avaa päävalikko
Sisätulo

Sisätuloavaruus on matematiikan käsite, tarkemmin ottaen algebrallinen rakenne. Se on vektoriavaruus, jossa on lisärakenteena sisätulo. Sisätulo mahdollistaa kysymykset mm. avaruuden alkioiden välisistä kulmista ja ortogonaalisuudesta. Lisäksi sisätulo indusoi vektoriavaruuteen normin, jolla voidaan mitata alkioiden "suuruuksia" ja metriikan, jolla puolestaan voidaan mitata alkioiden välisiä etäisyyksiä.

Määritelmä[1]Muokkaa

Olkoon   vektoriavaruus, jonka skalaarikunta on   (reaaliluvut   tai kompleksiluvut  ). Sisätulo on kuvaus  , joka toteuttaa aksioomat:

  • Konjugaattisymmetrisyys
  (symboli   on kompleksikonjugaatti).
  • Seskvilineaarisuus
  ja
 .
  • Ei-negatiivisuus
 
  • Ei-degeneratiivisuus
 .

Pistetulo [1]Muokkaa

Tavalliset tason ( ) tai kolmiulotteisen avaruuden ( ) vektorit muodostavat sisätuloavaruuden, jossa sisätulo on sama kuin vektorien pistetulo. Geometrisesti kahden vektorin pistetulo voidaan määritellä niiden itseisarvojen tulona kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla:

 ,

Pistetulo toteuttaa kaikki edellä annetut aksioomat.

Normi ja kulma yleisestiMuokkaa

Pistetulon geometriseen määritelmään perustuen voidaan käänteisesti määritellä vektorin itseisarvo eli normi sekä vektorien välinen kulma missä tahansa sisätuloavaruudessa. Vektorin normi määritellään neliöjuureksi sen sisätulosta itsensä kanssa:

 

Tällöin vektorien x ja y välinen kulma   voidaan yleisesti määritellä jakamalla niiden sisätulo niiden normien tulolla ja ottamalla saadusta osamäärästä arkuskosini:

 

Jos kahden vektorin sisätulo on nolla, ne ovat ortogonaaliset, mikä tason tai kolmiulotteisen avaruuden vektorien tapauksessa merkitsee, että ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. a b Rynne, Bryan P. ja Youngson, Martin A.: ”3.1”, Linear Functional Analysis, s. 51. Springer, 2000. (englanniksi)

KirjallisuuttaMuokkaa