Avaa päävalikko
Yksikköympyröitä eri normeissa.

Matematiikassa normi on itseisarvon käsitteen yleistys, "vektorin pituus". Normi on kuvaus, joka asettaa jokaista lineaariavaruuden alkiota vastaamaan reaaliluvun. Tietyssä mielessä normi määrittää vektorin etäisyyden origosta, jota voi intuitiivisesti hahmottaa vektorin pituutena. Esimerkiksi -tason vektoreille käytetään yleensä Pythagoraan lausetta vastaavaa normia .

Määritelmä[1]Muokkaa

Olkoon   lineaariavaruus kerroinkuntana  . Tällöin kuvaus   on normi (joukossa X), jos se toteuttaa seuraavat ehdot

  1.   kaikilla  ,
  2.   jos ja vain jos   (=nollavektori),
  3. Kuvaus p on skaalautuva:   kaikilla   ja  ,
  4. Kuvaus p toteuttaa ns. kolmioepäyhtälön:   kaikilla  .

Normia p merkitään usein kirjallisuudessa symbolilla   ja sen arvoa  . Jos lineaariavaruuteen X on määrätty normi p, niin paria (X,p) kutsutaan normiavaruudeksi.

Seminormi on kuvaus, joka toteuttaa normin kaikki muut ehdot paitsi ehdon 2.

OminaisuuksiaMuokkaa

Jokainen normiavaruus on luonnollisella tavalla metrinen avaruus. Nimittäin jos   on normiavaruus, niin kuvaus  ,   on metriikka. Kutsumme tämmöisen ns. normimetriikan virittämää topologiaa tavalliseksi topologiaksi.

Metrisenä avaruutena normiavaruuteen voidaan myös määritellä ns. yksikköympyrä. Normiavaruuden   x-keskinen, r-säteinen yksikköympyrä on joukko  . Vaihtamalla siis normia avaruudessa X saamme aina mahdollisesti erilaisia yksikköympyröitä. Oheisissa kuvissa on joukon   erilaisten normien määräämiä yksikköympyröitä.

Esimerkkejä normeistaMuokkaa

  • Euklidinen normi joukossa  :
     
  •  - ja  -normit:

- Jonoavaruuden   osajoukon  -äärellisten jonojen joukon ns.  -normi   saadaan kaavasta

 

- Funktioavaruuden   ns.  -normi   saadaan kaavasta

 
  • Maksiminormit rajoitettujen jonojen avaruudessa   ja oleellisesti rajoitettujen funktioiden avaruudessa  :
     
    ja
 

LähteetMuokkaa

  1. Rynne, B. P., Youngson, M. A.: ”2. Normed Spaces”, Linear Functional Analysis, s. 31. Springer, 2000.

KirjallisuuttaMuokkaa