Avaa päävalikko

Funktio

matemaattinen kuvaus olioiden suhteesta
Tämä artikkeli käsittelee termin merkitystä matematiikassa. Ohjelmoinnissa aliohjelmia nimitetään tietyissä tilanteissa funktioksi.
Funktio liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden maalijoukon Y alkion.

Funktio eli kuvaus kertoo olioiden välisistä riippuvuussuhteista.[1] [2]

Formaalisti funktio joukolta joukkoon on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon alkioon täsmälleen yhden joukon alkion. Funktiota merkitään yleensä symbolilla .

Funktioon liittyviä joukkoja kutsutaan :n lähtö- eli määrittelyjoukoksi () ja maalijoukoksi (). Jos , niin sanotaan, että on joukon funktio. Määrittelyjoukon alkioita kutsutaan usein funktion argumenteiksi. Sitä, että :n argumenttiin liittämä arvo on , merkitään yleensä , eli funktion kuva-alkio. Esimerkiksi asetetaan kuvitellussa tilanteessa :n määrittelyjoukoksi nelihenkinen perhe. on nyt siis ihminen-tyyppisistä alkioista koostuva joukko, jossa on neljä alkiota. Asetetaan sitten maalijoukoksi kaikkien mahdollisten suomalaisten etunimien joukko. Koska jokaiseen ihmiseen voimme liittää jonkin yksikäsitteisen etunimen, niin voimme muodostaa funktion nelihenkisen perheen ja kaikkien etunimien joukon välille. Tämän funktion argumentit ovat perheenjäseniä ja arvot perheenjäsenten etunimet.

Matematiikassa ja sen sovelluksissa tavallisin funktiotyyppi on sellainen, jossa lähtö- ja maalijoukot ovat lukujoukkoja ja funktion määrittelevä vastaavuus voidaan ilmaista laskutoimituksin. Tällöin on tavallista, joskin muodollisesti epäkorrektia, nimetä funktio määrittelyjoukon yleiseen alkioon kohdistuvan laskutoimituksen osoittavalla kaavalla, esimerkiksi "funktio ".

Esimerkkejä yleisestä määritelmästäMuokkaa

 , jolla  , on funktio reaalilukujen joukossa. Tässä funktio   liittää jokaiseen reaalilukuun luvun itsensä, ks. Identtinen funktio.

 , jolla  . Nyt funktio   liittää jokaiseen reaalilukuun tämän luvun neliön.

 , jolla  , on kahden muuttujan funktio (ks. alla). Funktio   liittää jokaiseen reaalilukupariin lukujen neliöiden summan.

Eksakti määritelmäMuokkaa

Yleensä edellä annettu määritelmä riittää pitkällekin menevissä matematiikan tutkimuksissa ja sovelluksissa. Kuitenkin on tarpeellista joskus määritellä funktio täsmällisemmin kuin lausein ja sanoin. Olkoot jälleen   ja   joukkoja. Tällöin näiden karteesisen tulon osajoukko   on funktio, jos sille pätevät ehdot

 

ja

 .

Toisin sanoen pari   on funktion   alkio, jos ja vain jos jokaisella kuva-alkiosta   poikkeavilla alkioilla   pari   ei ole funktion   alkio. Siispä funktiossa kukin  :n alkio esiintyy tarkalleen kerran  :n parin ensimmäisenä alkiona. Funktio on siis erikoistapaus yleisemmistä kaksipaikkaisista relaatioista. Eksaktin määritelmän avulla funktiot   ja   ovat samat, kun ne ovat sama joukko, eli pätee  .

Esimerkkejä eksaktista määritelmästäMuokkaa

Olkoon joukko   ja joukko  . Nyt näiden karteesinen tulo on joukko  .

Funktiot joukossa   ovat osajoukot:

  •   eli  
  •   eli  
  •   eli  
  •   eli  
  •   eli  
  •   eli  
  •   eli  .

Funktion kuvaajaMuokkaa

 
Funktion f(x)=x kuvaaja

Funktiota on yleensä tapana mahdollisuuksien puitteissa kuvata myös visuaalisesti. Tämän mahdollistaa funktion kuvaajan käsite. Täsmällisesti jos   on funktio, niin sen kuvaaja on karteesisen tulon   osajoukko

 

Funktion kuvaaja koostuu siis määrittelyjoukon alkion ja vastaavan arvojoukon alkion muodostamista pareista. Funktion kuvaajan määritelmä on identtinen yllä esitetyn funktion eksaktin määritelmän kanssa.

Esimerkiksi funktion  , kuvaaja on määritelmän mukaan karteesisen tulon   osajoukko

 

Tässä tapauksessa koska joukko   on tavallinen 2-ulotteinen euklidinen avaruus  , niin voidaan funktion   kuvaajaa hahmottaa visuaalisesti sijoittamalla tasoon kuvaaja-joukon pisteet kuten oheisessa kuvassa näkyy.

Yhdistetty funktioMuokkaa

Jos  ,   ja  , niin on määriteltävissä funktio   siten, että  . Funktio   on funktioista   ja   yhdistetty funktio ja sitä merkitään  .

Jos esimerkiksi  ,   ja  , niin   ja  .

Vektorimuuttujan funktiot ja vektoriarvoiset funktiotMuokkaa

Kun funktion lähtöjoukko on hahmotettavissa useamman joukon karteesiseksi tuloksi, on usein tapana puhua usean muuttujan funktiosta tai vektorimuuttujan funktiosta. Jos  , niin funktion   alkioon   liittämää kuva-alkiota   merkitään yleensä  . Esimerkiksi ilmanpaine   tietyssä paikassa   ja tietyllä hetkellä on neljän muuttujan (kolme paikkakoordinaattia ja aika) reaaliarvoinen funktio  . Tutumpi esimerkki on yhteenlaskufunktio  : lukuparin   yksikäsitteinen kuva-alkio   on lukujen   ja   summa, ja sitä merkitään yksinkertaisemmin   (ks. Laskutoimitus).


Vastaavasti funktion palauttama arvo voi olla usean joukon karteesisen tulon alkio. Tällöin on tapana puhua vektoriarvoisesta funktiosta. Esimerkiksi joen virtaussuunta tasokartalla ja nopeus (kaksi arvoa) voidaan ilmoittaa joen suulta mitatun etäisyyden funktiona  , missä   on jokin vakio . Erityisesti fysiikassa vektoriarvoisen funktion sijasta puhutaan yleensä vektorikentästä. Esimerkiksi sähkökenttää voi kuvata funktio, joka liittää tiettyyn paikka- ja aika-avaruuden pisteeseen kentän suunnan, eli kyseessä on kuvaus  .

Joukkojen kuvat ja alkukuvatMuokkaa

Olkoon   funktio eli kuvaus.

  • Joukon   kuvajoukko eli kuva kuvauksessa   on joukko
 

Toisinaan kuvajoukkoa merkitään ilman sulkeita:  . Funktion kuvajoukko on siis maalijoukon   osajoukko ja se koostuu niistä  :n kuva-alkioista, joille määrittelyjoukon osajoukon   alkiot kuvautuvat kuvauksessa  . Jos asetamme osajoukoksi   koko määrittelyjoukon  , ei välttämättä vastaava kuvajoukko   ole koko maalijoukko  . Esimerkiksi funktion  ,  , määrittelyjoukon kuva  , joka on maalijoukon   aito osajoukko.

  • Joukon   alkukuva kuvauksessa   on joukko
 

Funktion alkukuva on siis määrittelyjoukon   osajoukko ja se koostuu niistä  :n alkioista, jotka kuvautuvat joukon   alkioille kuvauksessa  . Yksittäisen alkion   alkukuva on  . Jos asetetaan osajoukoksi   koko maalijoukko  , niin vastaava alkukuva on koko määrittelyjoukko. Koko määrittelyjoukko voi kuitenkin olla jonkin maalijoukon aidon osajoukon alkukuva. Esimerkiksi funktion  ,  , maalijoukon osajoukon   alkukuva on   eli koko määrittelyjoukko.

AlkeisfunktiotMuokkaa

Matematiikassa ja sen sovelluksissa tavallisimpia reaalimuuttujan   funktioita kutsutaan alkeisfunktioiksi. Alkeisfunktioita ovat ensinnäkin polynomit eli funktiot, jotka määritellään muuttujasta ja vakioista yhteen- ja kestolaskun avulla muodostetuilla laskulausekkeilla. Polynomifunktion   yleinen muoto on

 

Polynomifunktioiden erikoistapauksia ovat vakiofunktiot  , missä   on jokin vakio, ja identtinen (reaalimuuttujan) funktio  . Rationaalifunktiot   määritellään lausekkein, joissa voi esiintyä yhteen- ja kertolaskun lisäksi myös jakolaskuja. Rationaalifunktion laskulauseke voidaan aina saattaa muotoon

 

eli kahden polynomifunktion osamaaräksi. Koska nimittäjä voi olla nolla, rationaalifunktion määrittelyjoukko ei yleensä voi olla koko reaalilukujen joukko. Kun funktion lausekkeen muodostamisessa saa käyttää myös juurenottoja, funktio on algebrallinen funktio.

Algebrallisten funktioiden lisäksi alkeisfunktioihin luetaan eksponenttifunktiot, logaritmifunktiot, trigonometriset funktiot käänteisfunktioineen ja kaikki näistä yhdistämällä muodostetut funktiot.

Funktion ydin ja kantajaMuokkaa

Algebrassa voidaan funktioille lisäksi määritellä ytimen käsite, joka on osoittautunut esimerkiksi isomorfisuuden tutkimisessa hyödylliseksi välineeksi.

Olkoon seuraavassa G ja ryhmiä ja   jokin funktio.

  • Funktion   ydin on joukko
 

missä merkintä   tarkoittaa arvojoukon   nolla-alkiota. Toisin sanoen funktion ydin koostuu niistä määrittelyjoukon alkioista, jotka kuvautuvat nolla-alkiolle. Funktion ydin on siis erityisesti nolla-alkion muodostaman yksiön alkukuva. Esimerkiksi funktion  ,  , ydin koostuu pelkästä luvusta 0 sillä   jos ja vain jos  .

Erityisesti funktionaalianalyysissä hyödyllinen käsite on funktion kantaja. Jos funktion määrittelyjoukko on topologinen avaruus ja arvojoukko on reaali- tai kompleksilukujen joukko, funktion kantaja on joukon   ( ) sulkeuma eli pienin kyseisen joukon sisältävä suljettu joukko.

Funktiokäsitteen historiaaMuokkaa

Sanan funktio etymologia perustuu latinan verbiin fungi, 'tehdä, toimia, toimittaa'. Sanaa sen matemaattisessa merkityksessä käytti ensimmäisenä saksalainen G. W. Leibniz vuonna 1694. Sveitsiläinen Johann Bernoulli käytti vuonna 1718 merkintää  . Merkintää   käyttivät ensi kerran ranskalainen Alexis Claude Clairaut (1713–1765) ja sveitsiläinen Euler vuonna 1734. Funktiolla ymmärrettiin pitkään laskulausekkeen tulosta, mutta jo Eulerilla esiintyy ajatus funktiosta minä hyvänsä lukujen välisenä yhteytenä. Saksalainen Dirichlet esitti vuonna 1837 olennaisesti nykyisen funktion määritelmän, joka ei sido funktiota lukujen laskutoimituksiin.

Erityisesti Cauchyn, Riemannin ja Weierstrassin havainnot kompleksilukumuuttujan kompleksilukuarvoisista funktioista synnyttivät 1800-luvulla funktioteoriaksi kutsutun matematiikan osa-alueen. Sen tutkimus on ollut elinvoimaista Suomessa 1900-luvulla.

Funktion ominaisuuksiaMuokkaa

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Pekka Kontkanen, Riitta Liira, Kerkko Luosto, Juha Nurmi, Riikka Nurmiainen, Anja Ronkainen ja Sisko Savolainen: Pyramidi 1, s. 115. Kustannusosakeyhtiö Tammi, 2010. ISBN 978-951-26-5134-4.
  2. Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 18–19. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.

KirjallisuuttaMuokkaa