Karteesinen tulo

joukko-opin käsite

Karteesinen tulo eli tulojoukko on joukko-operaatio,[1] jolla muodostetaan kahdesta tai useammasta joukosta uusi joukko. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon ja filosofin René Descartesin mukaan. Descartes loi käsitteen kehitellessään analyyttista geometriaa.

Karteesinen tulo A × B, kun A={a,b,c} ja B= {x,y}

Karteesisen tulon yleinen muoto voidaan esittää seuraavasti:

X1 × ... × Xn = {(x1, ... , xn) | x1 ∈ X1 ja ... ja xn ∈ Xn}, missä X1, ..., Xn ovat joukkoja.

Esimerkkejä karteesisesta tulostaMuokkaa

Kahden joukon karteesinen tuloMuokkaa

Kahden joukon X ja Y karteesinen tulo on sellaisten järjestettyjen parien (x, y) joukko, joissa x on joukon X alkio ja y joukon Y alkio.

Merkitään: X × Y = { (x, y) | x ∈ X ja y ∈ Y }

Karteesisen tulon osajoukkoja kutsutaan binäärisiksi eli kaksipaikkaisiksi relaatioiksi.

Kolmen joukon karteesinen tuloMuokkaa

Euklidinen kolmiulotteinen avaruus avaruus voidaan ilmaista joukkona R3 = R × R × R, jonka alkiot eli "pisteet" ovat
järjestettyjä kolmikkoja (x, y, z), missä x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R.

Muita esimerkkejäMuokkaa

  • Olkoot A = {1, 2} ja B = {1, 2, 3}. Tällöin A × B = {(a, b)| a ∈ A ja b ∈ B} = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3)}.
  • Olkoot M = {risti, pata, ruutu, hertta} ja N = {ässä, kuningas, rouva, jätkä, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}.
    Tällöin M × N = {(risti, ässä) , (risti, kuningas), (risti, rouva),...,(hertta, 2)}. (korttipakka)
  • Reaalitaso: R2 = R × R = {(x, y)| x ∈ R, y ∈ R}

LähteetMuokkaa

  1. Mark Freitag: Mathematics for Elementary School Teachers: A Process Approach, s. 95. Cengage Learning, 2013. ISBN 9781285528762. (englanniksi)

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0.
  • Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6.