Osajoukko
joukko, joka sisältyy toiseen joukkoon
Joukko B on joukon A osajoukko, jos jokainen joukon B alkio kuuluu joukkoon A, merkitään . Tällöin sanotaan myös, että B sisältyy joukkoon A. [1] Kaikkien osajoukkojen muodostamaa joukkoa kutsutaan potenssijoukoksi ja merkitään .
Formaalisti määritellään, että
- , kun .
Joukko B on joukon A aito osajoukko, jos se on joukon A osajoukko, mutta B ei ole sama kuin A, B ≠A. Aitoa osajoukkoa merkitään usein , jolloin osajoukkoa merkitään .
Jokainen joukko C on itsensä osajoukko, . Tyhjä joukko ∅ on jokaisen joukon osajoukko ja aito osajoukko jokaiselle joukolle paitsi itselleen.
Kun joukossa on n alkiota, siitä voidaan muodostaa osajoukkoa.[2]
Esimerkkejä:
- 1. Joukko {1, 2} on joukon {1, 2, 3} aito osajoukko.
- Sen kaikki osajoukot ovat ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.
- 2.
- 3. Joukko A0 = {b ∈ R : b ≤ 0} on joukon A1 = {b ∈ R : b ≤ 1} osajoukko.
- 4. Joukko S = {Merkurius, Venus, Maa} on joukon P = {Aurinkokuntamme planeetat} osajoukko.
Lähteet
muokkaa- ↑ Häsä, Jokke – Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 13. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
- ↑ Lehtosaari, Yngve – Leino, Jarkko: ”1.5. Osajoukko. Harjoituksia: 2”, Matematiikka 10. Lukion laajempi kurssi, s. 23. Helsinki: Kirjayhtymä, 1971.
Kirjallisuutta
muokkaa- Merikoski, Jorma – Virtanen, Ari – Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001. ISBN 951-44-3604-0.
- Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964.
Aiheesta muualla
muokkaa- Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Osajoukko Wikimedia Commonsissa