Avaa päävalikko
Kolmen alkion potenssijoukko sisältää alkiota

Potenssijoukko on joukon kaikkien osajoukkojen joukko. [1] Joukon potenssijoukkoa merkitään tyypillisesti symboleilla tai tai .[2]

JohdantoMuokkaa

Tarkastellaan ensin nelialkioista äärellistä joukkoa  . Joukko-opin mukaan tyhjä joukko   on yksi osajoukko. Myös yksialkioiset osajoukot

 

ovat joukon   osajoukkoja. Sitten voidaan muodostaa kuusi kaksialkioista osajoukkoa

 

ja neljä kolmialkioista osajoukkoa

 

Viimeinen osajoukko on joukko   itse, sillä joukko-opin mukaan joukko on aina itsensä osajoukko.

Helposti nähdään, että neljän alkion joukosta voidaan muodostaa   osajoukkoa. Muodostettu osajoukkojen joukko koostuu näistä 16 luetelluista osajoukoista ja sitä kutsutaan joukon   potenssijoukoksi. Potenssijoukon koko eli mahtavuus on 16.

MääritelmäMuokkaa

Muodollinen määritelmä: jos   on mielivaltainen joukko, niin on  .

MahtavuusMuokkaa

Joukon   mahtavuus voidaan merkitä   tai  .

Äärellisen joukon potenssijoukon mahtavuus voidaan laskea seuraavasti. Yleisesti voidaan merkitä, montako   jäsenistä osajoukkoa voidaan ottaa mahtavuudeltaan   olevasta joukosta:

 

Kun lasketaan yhteen tyhjän joukon, kaikki yksialkioiset osajoukot, kaksialkioiset, ..., (n-1)-alkioiset ja joukko itse, saadaan

  [3]

Jos äärellisen joukon mahtavuus on  , niin sen potenssijoukon mahtavuus on kahden potenssi eli   .

Tyhjän joukon potenssijoukko sisältää määritelmän mukaan tyhjän joukon, mutta myös itsensä. Koska tyhjiä joukkoja on olemassa vain yksi, ei sitä voi esiintyä osajoukkojen joukossa kahdesti. Tyhjässä joukossa ei ole alkioita, joista voidaan muodostaa osajoukkoja. Tällöin on  . Tyhjän joukon mahtavuus on  , niin sen potenssijoukon mahtavuus on  .

Numeroituvasti äärettömän joukon potenssijoukon mahtavuus on siten  , jos numeroituvasti äärettömän joukon mahtavuus on  . Voidaan osoittaa, että   eli sama kuin reaalilukujen mahtavuus. Se on suurempi kuin luonnollisten lukujen mahtavuus ja se merkitään  . Tällaisen potenssijoukon mahtavuus on ylinumeroituvasti ääretön.[4][5][6]

Voidaan todistaa, ettei joukon   ja sen potenssijoukon välillä ei ole bijektiota. Silloin ei joukon   numeroituvuudesta voida päätellä potenssijoukon numeroituvuutta.[7][3]

Ylinumeroituvien joukkojen potenssijoukot ovat entistä mahtavampia, jolloin esimerkiksi  . Potenssijoukosta muodostettu potenssijoukko on edellisiä mahtavampi. Niiden mahtavuutta on ollut tapana merkitä kardinaaleilla  . Niilläkin on suuruusjärjestys

  [3]

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  • Fuchs, Walter R.: Matematiikka. Suomentanut Mattila, Pekka. Länsi-Saksa: Kirjayhtymä, 1968.
  • Barrow John D.: Lukujen taivas. Suomentanut Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0.

ViitteetMuokkaa

  1. Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 17. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
  2. Weisstein, Eric W.: Power set (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b c Williams, Michael B.: Cardinality (pdf) (luentomoniste) Texas, USA: University of Texas at Austin. (englanniksi)
  4. Weisstein, Eric W.: Countably Infinite (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Aleph-0 (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Weisstein, Eric W.: Aleph-1 (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Schwartz, Rich: Countable and Uncountable Sets (pdf) (luentomoniste) 2007. Providence: Brown University. (englanniksi)

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6.