Avaa päävalikko

Derivaatta

matemaattisen analyysin peruskäsite

Derivaatta tarkoittaa matematiikassa reaaliarvoja saavan funktion herkkyyttä muutokselle yhden sen riippumattoman muuttujan suhteen. Derivaatta on matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Se johdetaan funktion tietyn välin keskimääräisestä muutosnopeudesta, jonka arvosta määritetään raja-arvon avulla muutosnopeus yhdessä kohtaa. Sanaa derivaatta käytetään suomessa sekä funktion derivaatan arvon että sen derivaattafunktion synonyyminä.[1][2]

Jos rajoitutaan yhden muuttujan funktioihin, voidaan muutosnopeuden keskiarvoa kuvata funktion kuvaajan keskimääräiseksi jyrkkyydeksi. Sitä havainnollistetaan esimerkiksi Suomen lukioiden matematiikan oppimäärissä kuvaajan sekantilla (keskimääräinen muutosnopeus), jonka kulmakerroin on kyseisellä välillä funktion jyrkkyyksien likiarvo. Mitä pienempi on sekantin rajaama väli, sitä paremmin sen jyrkkyys vastaa funktion kuvaajan jyrkkyyksiä kyseisellä välillä. Lopulta, kun väliä pienennetään raja-arvon avulla pisteeksi, saadaan derivaatta (muutosnopeus yhdessä kohdassa). Sitä havainnollistetaan yleensä tangentilla, jonka kulmakerroin on derivaatan arvon suuruinen.[1][2]

Yhden muuttujan derivaatta voidaan yleistää usean muuttujan funktioille, jossa sitä kutsutaan funktion differentiaaliksi, mutta termiä differentiaali voidaan käyttää myös yhden muuttujan funktioille.[3] Differentiaali on funktion kokonaismuutoksen lineaarinen osa, joka esitetään usean muuttujan funktioiden tapauksessa Jacobin matriisin avulla.[4].

Yhden reaalimuuttujan funktiotMuokkaa

 
Sekantin asennon kääntyminen tangentiksi.

Määritelmä kahden kohdan avullaMuokkaa

Yhden reaalimuuttujan funktion   derivaatan   formaalinen määritelmä käyttää aina hyväkseen sen muutosnopeuden raja-arvoa. Seuraavassa funktion muutosnopeutta ilmaistaan sen erotusosamäärällä käyttäen valitun välin päätepisteitä   ja  

 

Merkinnällä   tarkoitetaan suureen   arvojen muutosta tai erotusta  . Välin   jälkimmäistä päätepistettä   siirretään lähemmäksi välin ensimmäistä päätepistettä  . Tämä merkitään raja-arvon arvolla

  [4]

Tällöin voidaan sanoa (jos raja-arvo on olemassa), että funktiolla   on derivaatan arvo kohdassa  , joka merkitään tavallisesti  . [5][2]

Määritelmä välin pituuden avullaMuokkaa

 
Erotusosamäärä ja sekantti.

Toisessa yleisessä määritelmässä erotusosamäärä muodostetaan pisteiden   ja   avulla, missä luku   on pisteiden välinen etäisyys. Sijoittamalla tämä erotusosamäärään saadaan

 

Nyt väliä   voidaan raja-arvossa pienentää pienentämällä lukua  , jolloin saadaan (mikäli raja-arvo on olemassa) derivaatan arvo pisteessä  

  [1][2]

Funktion kulun tarkasteluMuokkaa

Derivaattafunktion avulla saadaan selville sellaiset kohdat, joissa alkuperäinen funktio mahdollisesti muuttaa kulkusuuntaansa. Näissä kohdissa derivaattafunktion arvo on nolla (eli funktion kulmakerroin on 0). Derivaattafunktion merkki - ja funktion kulkusuunta - voi vaihtua vain derivaatan nollakohdassa.[6] Mikäli tällaisia kohtia ei ole, on funktio aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.

Esimerkiksi kolmannen asteen funktio   derivoituu sääntöjen mukaisesti muotoon  . Laskemalla derivaattafunktion nollakohdat, jotka ovat   ja   saadaan selville kohdat joissa alkuperäinen funktio todennäköisesti vaihtaa kulkusuuntaansa. Lasketaan derivaatan arvo kunkin nollakohdan kummallakin puolella, esimerkiksi pisteissä -2, 0 ja 2. Jos saatu arvo on negatiivinen, on funktion kuvaaja laskeva, jos positiivinen, on funktion kuvaaja nouseva.

Funktion   kulkukaavio
-5/3 1
  + - +
  nouseva laskeva nouseva

Mikäli funktion kulkua tarkasteltaisiin suljetulla välillä  , huomattaisiin, että funktio saisi suurimman ja pienimmän arvonsa kyseisissä derivaatan nollakohdissa. Nämä kohdat   ja   ovat funktion paikallisia maksimi- ja minimikohtia. Funktiolla ei kuitenkaan ole suurinta tai pienintä arvoa, kun tarkasteluvälinä on koko reaaliakseli, koska sen arvojoukko on negatiivisesta äärettömyydestä positiiviseen äärettömyyteen.

Derivaatan olemassaoloMuokkaa

Derivaatta on olemassa pisteessä  , mikäli erotusosamäärän raja-arvo on äärellinen ja se voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Käyttämällä hyväksi toispuoleisen derivaatan käsitteitä, voidaan derivaatan olemassaolo ilmaista niin, että sekä vasemmanpuoleisen että oikeanpuoleisen derivaatan tulee olla olemassa ja niiden arvojen tulisi olla yhtä suuret.[4][7][8]

Vaikeasti käyttäytyvillä funktioilla ei riitä erotusosamäärän raja-arvon intuitiivinen sievennys, vaan tarvitaan täsmällisempi matemaattinen määritelmä. Sellainen on esimerkiksi

 .

Toisin sanoen kaikille ehdotetuille luvuille   löytyy siitä riippuva luku   siten, että erotusosamäärän arvot ovat alle  :in päässä raja-arvosta eli derivaatan arvosta, kun muuttujan arvot ovat alle  :n päässä lähestyttävästä arvosta. Mikäli aina lukua   pienennettäessä, löytyy edellistä pienempi  , voidaan pitää osoitettuna, että raja-arvo tulee löytymään.

Yhden muuttujan derivaattafunktioMuokkaa

Derivaattafunktio tarkoittaa sellaista lauseketta, jolla voi laskea funktion derivaatan arvon kyseisessä kohdassa ilman raja-arvon määritystä. Tällaisen funktion määrittämistä kutsutaan derivoimiseksi. Derivointifunktiota kutsutaan yleisesti myös derivaataksi. Derivaattafunktion määrittelyjoukko voi olla sama kuin funktion määrittelyjoukko, mutta toisinaan se on suppeampi väli.

Määritetään funktion   derivaattafunktio missä funktion määrittelyjoukon pisteessä   hyvänsä. Niissä pisteissä, missä raja-arvo on määritelty, saadaan derivaattafunktioksi   (käytetään toista määritelmää)

  [2]

Tämän derivaattafunktion määrittelyjoukko saadaan, kun raja-arvon kannalta määrittelemättömät kohdat jätetään funktion määrittelyjoukosta pois.[2]

Esimerkiksi funktion   derivaattafunktio määritetään seuraavasti. Merkitään lausekkeet erotusosamäärään ja määritetään raja-arvo:

 

Lausekkeella   voi helposti laskea funktion   derivaatan arvoja ilman, että raja-arvoa tarvitsee enää määrittää.[4]

Tilanteita, jossa derivaatan arvoa ei voi funktion määrittelyalueelta määrittää, liittyvät esimerkiksi funktion liian suureen jyrkkyyteen. Silloin funktion kuvaajalle piirretty tangentti on pystysuora, jolle ei ole määritelty kulmakerrointa. Jos derivaatta voidaan määrittä kaikissa muissa funktion määrittelyjoukon kohdissa, muodostuu tästä derivaattafunktion määrittelyjoukko. Laajin väli, missä derivaatta on mielekästä määrittää, on funktion oma määrittelyjoukko.[2]

Derivaatta-operaattori ja muita merkintätapojaMuokkaa

Operaattoria, jolla funktion derivoinnin aikomus ilmaistaan, merkitään derivaatta-operaattorilla. Suomenkin lukiokoulutuksessa on yleisesti käytössä iso D-kirjain. Edellisen esimerkin derivointia merkitään sillä

  [1]

Toinen yleinen merkintä "pilkku"-merkintä, jossa funktion derivaattafunktiota merkitään

 

Siinä oletetaan, että lukija tuntee muuttujan, jonka suhteen derivointi suoritetaan. Tämän vuoksi sitä käytetään pääasiassa yhden muuttujan derivoinnissa. Mikäli muuttujana on aika (merkitään t), kuten fysiikassa on yleistä, käytetään "piste"-merkintää

  [1]

Useamman muuttujan funktioissa voidaan suorittaa derivointi yhdelle muuttujalle, joka tulee ilmoittaa lukijalle alaindeksinä tai uudella merkinnällä

 

Merkinnät   ja   tarkoittavat suureiden   ja   differenssejä ja nimittäjästä   voidaan päätellä, minkä muuttujan suhteen derivointi suoritetaan.[1]

Derivaatan arvo jossakin kohdassa   merkitään vastaavasti  ,  ,   tai  

Moninkertaiset derivaatatMuokkaa

Kun funktion  :n derivaattafunktio on myös derivoituva, voidaan funktiota   kutsutaan kahdesti derivoituvaksi. Kahdesti derivoitu funktio eli toinen derivaatta määritetään

  [1]

ja merkitään  ,   tai  . Derivaattafunktioiden derivaattoja tarvitaan monissa sovelluksissa. Silloin voidaan yleistää, että jos  :n  :s derivaattafunktio on derivoituva, niin funktio on   kertaa derivoituva, ja sen  :ttä derivaattaa merkitään  ,   tai  .[1][9][10]

Jos funktion ( :s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan (  kertaa) jatkuvasti derivoituva. Mikäli funktion  :s derivaattafunktio on olemassa ja jatkuva, sanotaan, että funktio on  -funktio. Jos funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva ja sen jokainen derivaattafunktio on jatkuva, niin funktion sanotaan olevan  -funktio.lähde?

Eräiden alkeisfunktioiden derivointiaMuokkaa

Seuraavassa luettelossa on eräiden alkeisfunktioiden derivaattojen muistikaavoja. Siinä ei oteta kantaa funktion ja derivaatan määrittelyjoukkoihin.

Potenssin derivaatta Trigonometristen funktioiden derivaatat Arkusfunktioiden derivaatat
 , missä      
  [2]    
     
     
Eksponenttifunktion derivaatta Hyperbolisten funktioiden derivaatat Hyperbolisten käänteisfunktioiden derivaatat
     
 , missä      
   
Logaritmifunktioiden derivaatat
 
 , missä   ja  

Potenssin derivaattafunktio voidaan määrittää derivaatan määritelmän mukaan

 

jolloin potenssifunktiolle saadaan

 

Koska

 ,

missä   vastaa kunkin termin binomikerrointa (erityisesti   ja  ), voidaan erotusosamäärä kirjoittaa

 
 
 
  [9]

Tämän todistuksen ja summaussäännön perusteella voidaan helposti todistaa polynomifunktion   derivaatta.

Yleisiä derivointisääntöjäMuokkaa

Mikäli funktio on alkeisfunktioiden yhdistelmä, kuten niiden summa, erotus, tulo, osamäärä tai yhdistelmä, voidaan niitä derivoida seuraavien sääntöjen puitteissa.

Säännön nimi Derivointisääntö
Vakion derivaatta  , kun   on vakio.[4]
Vakion siirto   [1][4]
Summan derivaatta   [1][9][4]
Tulon derivaatta   [1][11][12][4]
Funktion potenssin derivaatta   [11][13]
Osamäärän derivaatta   [13][12][4]
Yhdistetyn funktion derivaatta   [4]
Käänteisfunktion derivaatta  , jossa   on  :n käänteisfunktio.[4]

Vakiofunktion   derivointi voidaan suorittaa määritelmän kautta seuraavasti:

 

Yhden kompleksimuuttujan funktiotMuokkaa

Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia  , ja tietyssä alueessa G (sisältää luvun  ) määriteltyä kompleksifunktiota  , pystytään joskus määrittämään funktion   derivaatta.

Holomorfinen funktioMuokkaa

Derivaatta on olemassa, mikäli   toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt [14] ja sen osittaisderivaatat ovat pisteen   ympäristössä G jatkuvat. Tällaisia kompleksifunktioita kutsutaan holomorfisiksi funktioiksi. Silloin raja-arvo

  [15]

voidaan määrittää yksikäsitteisesti.[16]

Derivaatan olemassaolon toteaminenMuokkaa

Esimerkiksi toisen asteen kompleksifunktio voidaan kirjoittaa auki

 

Derivaatan olemassaolo voidaan todeta muodostamalla funktion reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat [14][17]

 
 
  ja
 

Koska saadut osittaisderivaatat ovat polynomeina jatkuvia ja ne toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt

 

ja

 

on funktio   derivoituva.[14]

Kompleksifunktioiden derivointikaavatMuokkaa

Kompleksisten alkeisfunktioiden derivointisäännöt ja yleiset derivointisäännöt säilyvät samanlaisina kuin reaalimuuttujaisilla alkeisfunktioilla.

Usean muuttujan funktiotMuokkaa

Yhden muuttujan funktion derivointi voidaan yleistää vektoriarvoisen muuttujan vektoriarvoiseen funktion derivaattaan. Vektorilla voidaan esittää useamman muuttujan funktion määrittelyjoukkoa. Funktion kuvaus on tällöin  . Vektoreissa voidaan käyttää myös kompleksimuuttujia. Derivaatta määritellään tällaisilla funktioilla luonnollisella tavalla.

OsittaisderivaattaMuokkaa

Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä osittaisderivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhden muuttujansa suhteen. Osittaisderivoitaessa yhtä muuttujaa, muita muuttujia kohdellaan kuin vakioita. Sitä käytetään, kun halutaan tietää yhden muuttujan muutoksen vaikutus funktion arvoihin.[17]

Suunnattu derivaattaMuokkaa

Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä suunnattu derivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhdessä pisteessä halutussa suunnassa. Kussakin määrittelyjoukon pisteessä voidaan funktiolle määrittää suunnattu derivaatta äärettömän moneen eri suuntaan. Erisuuntaiset derivaatat ovat arvoltaan usein erisuuruisia. Ne voidaan laskea kätevästi käyttäen gradienttia. Sunnatulla derivaatalle voidaan määrittää myös toispuoleinen derivaatta.[18]

SovelluksiaMuokkaa

Derivointi on hyödyllinen matemaattinen apuneuvo myös teknisissä tieteissä. Seuraavassa yksinkertainen esimerkki derivaatan käytöstä fysiikassa. Oletetaan, että halutaan selvittää vaikkapa putoamiskiihtyvyys  , kun mitataan putoavan pallon putoama matka   ajan   funktiona. Tiedetään, että matka voidaan ilmaista

 

ja nopeus   on matkan derivaatta ajan suhteen

 

mistä edelleen putoamiskiihtyvyys   on nopeuden derivaatta ajan suhteen. Toisin sanoen siis matkan toinen derivaatta:

 

Kun mitattu etäisyys derivoidaan ajan suhteen numeerisesti, saadaan putoamiskiihtyvyys. Ajan suhteen derivoitaessa saatetaan joskus myös käyttää derivaatan merkkinä pistettä derivoitavan suureen päällä   ja  .

HistoriaMuokkaa

Aluksi tutkittiin suureiden muuttumista kun muuttujien arvoa muutettiin. Suureen muutosnopeuden arvo riippui käytettävästä muuttujan arvon muutossuuruudesta ja se saatiin sitä paremmaksi, mitä pienempi oli muutujan muutosväli. Käyttöön otettiin infinitesimaalin käsite. Se vastasi ”pienintä mahdollista muutosta” suureen arvossa. Derivaatta määritettiin siksi funktion arvon muutosnopeudeksi, kun muuttuja muuttui vain infinitesimaalisen vähän. Infinitesimaalit on 1900-luvulta asti korvattu raja-arvon käsitteellä, jossa muutosnopeuden keskiarvo on annetulla välillä korvattu erotusosamäärällä. Kun annettua väliä pienennetään rajatta, saadaan derivaatan arvo erotusosamäärän raja-arvona.[1][2]

Derivaatan käsitteen esittivät ensimmäisenä Isaac Newton ja Gottfried Leibniz 1600-luvulla. Sanan derivaatta (johdos) otti käyttöön Joseph-Louis Lagrange 1700-luvun lopulla.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. a b c d e f g h i j k l Weisstein, Eric W.: Derivative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. a b c d e f g h i Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 70–79
  3. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
  4. a b c d e f g h i j k Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (luentomoniste), 1999, s. 46–51
  5. Richard Courant & Fritz John: Introduction to Calculus and Analysis 1, s. 158. Springer. ISBN 3-540-65058-X. (englanniksi)
  6. Kulkukaavion tekeminen slideshare.net.
  7. Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 188–192
  8. Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko: Pyramidi 13 - Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi, s. 42–46. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5407-9.
  9. a b c Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 83–92
  10. Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (luentomoniste), 1999, s. 51–53
  11. a b Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 97–102
  12. a b Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 178–179
  13. a b Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 107–114
  14. a b c Weisstein, Eric W.: Cauchy-Riemann Equations (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  15. Weisstein, Eric W.: Complex Differentiable (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  16. Weisstein, Eric W.: Complex Derivative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  17. a b Weisstein, Eric W.: Partial Derivative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  18. Weisstein, Eric W.: Directional Derivative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa

 
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Derivaatta.