Binomikerroin

Binomikerroin on kombinaatioiden laskemiseen käytetty kaksiparametrinen funktio. Jos $n,k\in \mathbb {N}$ ja $k\leq n$, niin binomikerroin

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$.

Tämä luku osoittaa, kuinka monella eri tavalla $n$ alkiota käsittävästä joukosta voidaan poimia sellainen osajoukko, jossa on $k$ alkiota.

Esimerkiksi neljästä henkilöstä (A, B, C ja D) voidaan valita kaksi henkilöä kuudella tavalla: AB, AC, AD, BC, BD ja CD. Näiden sisäisellä järjestyksellä (permutaatio) ei ole väliä.

Täten: ${4 \choose 2}=6$.

Useissa laskimissa sama toiminto on nimeltään nCr (esim. nCr(4,2) ).

Ominaisuuksia

Pascalin kolmion kuusi ensimmäistä riviä

Binomikertoimille pätevät seuraavat yleiset säännöt:

• ${n \choose k}={n \choose n-k}$
• ${n \choose 0}={n \choose n}=1$
• ${n \choose 1}={n \choose n-1}=n$
• Pascalin sääntö: ${n+1 \choose k}={n \choose k-1}+{n \choose k}$
• $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$

Pascalin sääntö osoittaa, että binomikertoimen arvot voidaan lukea Pascalin kolmiosta niin, että n vastaa kolmion rivinumeroa, ja k binomikertoimen järjestysnumeroa rivin reunasta laskien.

Binomin potenssit

Nimitys binomikerroin johtuu siitä, että samat luvut esiintyvät myös kertoimina, kun binomi korotetaan kokonaislukupotenssiin ja saatu lauseke kehitetään polynomiksi, esimerkiksi:

$(a+b)^{2}={2 \choose 0}a^{2}+{2 \choose 1}ab+{2 \choose 2}b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(a+b)^{3}={3 \choose 0}a^{3}+{3 \choose 1}a^{2}b+{3 \choose 2}ab^{2}+{3 \choose 3}b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

$(a+b)^{4}={4 \choose 0}a^{4}+{4 \choose 1}a^{3}b+{4 \choose 2}a^{2}b^{2}+{4 \choose 3}ab^{3}+{4 \choose 4}b^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$

Yleistyksiä

Korvaamalla kertoma gammafunktion avulla, voidaan binomikerroin laajentaa positiivisille reaaliluvuille ja joillekin negatiivisille reaaliluvuille määritellyksi. Negatiivinen binomikerroin on kuitenkin

${-n \choose k}=(-1)^{k}{n+k-1 \choose k}=(-1)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}.$

Yleisesti on voimassa, että jos $\alpha \in \mathbb {R}$, niin ${\binom {\alpha }{n}}={\frac {\prod _{i=0}^{n-1}\left(\alpha -i\right)}{n!}}$.

Binomikertoimien ala- ja ylärajoja

Binomikertoimelle ${n \choose k}$ on voimassa seuraavat arviot:

• ${n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}$

• ${n \choose k}\leq \left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}$

• ${n \choose k}\geq \left({\frac {n}{k}}\right)^{k}$

Aiheesta muualla

• Binomial Coefficient