Binomikerroin

Binomikerroin on kombinaatioiden laskemiseen käytetty kaksiparametrinen funktio. Jos ja , niin binomikerroin

.

Tämä luku osoittaa, kuinka monella eri tavalla alkiota käsittävästä joukosta voidaan poimia sellainen osajoukko, jossa on alkiota.

Esimerkiksi neljästä henkilöstä (A, B, C ja D) voidaan valita kaksi henkilöä kuudella tavalla: AB, AC, AD, BC, BD ja CD. Näiden sisäisellä järjestyksellä (permutaatio) ei ole väliä.

Täten: .

Useissa laskimissa sama toiminto on nimeltään nCr (esim. nCr(4,2) ).

OminaisuuksiaMuokkaa

 
Pascalin kolmion kuusi ensimmäistä riviä

Binomikertoimille pätevät seuraavat yleiset säännöt:

  •  
  •  
  •  
  • Pascalin sääntö:  
  •  

Pascalin sääntö osoittaa, että binomikertoimen arvot voidaan lukea Pascalin kolmiosta niin, että n vastaa kolmion rivinumeroa, ja k binomikertoimen järjestysnumeroa rivin reunasta laskien.

Binomin potenssitMuokkaa

Nimitys binomikerroin johtuu siitä, että samat luvut esiintyvät myös kertoimina, kun binomi korotetaan kokonaislukupotenssiin ja saatu lauseke kehitetään polynomiksi, esimerkiksi:

 
 
 

YleistyksiäMuokkaa

Korvaamalla kertoma gammafunktion avulla, voidaan binomikerroin laajentaa positiivisille reaaliluvuille ja joillekin negatiivisille reaaliluvuille määritellyksi. Negatiivinen binomikerroin on kuitenkin

 

Yleisesti on voimassa, että jos  , niin  [1].

Binomikertoimien ala- ja ylärajojaMuokkaa

Binomikertoimelle   on voimassa seuraavat arviot:

  •  
  •  
  •  

LähteetMuokkaa

  1. Lennart Råde, Bertil Westergren: Mathematics Handbook for Science and Engineering

Aiheesta muuallaMuokkaa