Gammafunktio
Gammafunktio on funktio, jolle käytetään symbolia (iso gamma), ja joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille. Sen arvo on Riemannin integraalilla merkittynä

Gammafunktio on määritelty kaikilla arvoilla paitsi ei-positiivisilla kokonaisluvuilla. Näissä pisteissä integraalin raja-arvo on ääretön. Kaikista kertomafunktion yleistyksistä gammafunktio on erityinen, sillä Bohrin-Mollerupin lauseen mukaan se on ainoa, joka on logaritmisesti konveksi ts. sen luonnollinen logaritmi on konveksi.
Gammafunktion arvoa ei pysty antamaan suljetussa muodossa mielivaltaisessa pisteessä.
Gammafunktion johtaminen
muokkaaGammafunktioon saavutaan, kun toistuvasti derivoidaan integraaliyhtälöä . on vain parametrin a funktio, kuten voimme odottaa. Siispä:
josta
Toistetaan:
Toistetaan:
Sijoitetaan ja saamme
josta määrittelemme gammafunktion
n!:n yleistykseksi kompleksiluvuille. Luonnollisille luvuille:
Gammafunktion ominaisuuksia
muokkaaJos on luonnollinen luku, niin
Jos on luonnollinen luku, niin saadaan:[2]
ja
Tästä tulee arvot:
Gammafunktio voidaan määritellä myös raja-arvona:
Gammafunktiolle pätee lisäksi:[2]
Katso myös
muokkaaLähteet
muokkaa- ↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 114. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
- ↑ a b Eric W. Weisstein: Gamma Function mathworld.wolfram.com. Viitattu 4.5.2025. (englanniksi)
Kirjallisuutta
muokkaa- Jalava, Väinö: Johdatus funktionaalianalyysiin. (Moniste 95) Tampere: TTKK, 1983. ISBN 951-720-831-6
- Laasonen, Pentti: Matemaattisia erikoisfunktioita. (Moniste 261) Otaniemi: TKK, 1971.
Aiheesta muualla
muokkaa- Mathworld. Gamma Function (englanniksi)