Gammafunktio
Gammafunktio on funktio, jolle käytetään symbolia (iso gamma), ja joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille. Sen arvo on Riemannin integraalilla merkittynä
Gammafunktio on määritelty kaikilla arvoilla paitsi ei-positiivisilla kokonaisluvuilla. Näissä pisteissä integraalin raja-arvo on ääretön. Kaikista kertomafunktion yleistyksistä gammafunktio on erityinen, sillä Bohrin-Mollerupin lauseen mukaan se on ainoa, joka on logaritmisesti konveksi ts. sen luonnollinen logaritmi on konveksi.
Gammafunktion arvoa ei pysty antamaan suljetussa muodossa mielivaltaisessa pisteessä.
Gammafunktioon saavutaan, kun toistuvasti derivoidaan integraaliyhtälöä . on vain parametrin a funktio, kuten voimme odottaa. Siispä:
josta
Toistetaan:
Toistetaan:
Sijoitetaan ja saamme
josta määrittelemme gammafunktion
n!:n yleistykseksi kompleksiluvuille. Luonnollisille luvuille:
Gammafunktion ominaisuuksia
muokkaa- Jos on luonnollinen luku, niin
- Jos on luonnollinen luku, niin
, josta saadaan arvo - Gammafunktio voidaan määritellä myös raja-arvona:
Katso myös
muokkaaLähteet
muokkaa- ↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 114. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
Kirjallisuutta
muokkaa- Jalava, Väinö: Johdatus funktionaalianalyysiin. (Moniste 95) Tampere: TTKK, 1983. ISBN 951-720-831-6.
- Laasonen, Pentti: Matemaattisia erikoisfunktioita. (Moniste 261) Otaniemi: TKK, 1971.
Aiheesta muualla
muokkaa- Mathworld. Gamma Function (englanniksi)