Gammafunktio

funktio, joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille

Gammafunktio on funktio, jolle käytetään symbolia (iso gamma), ja joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille. Sen arvo on Riemannin integraalilla merkittynä

Gammafunktion kuvaaja pienillä positiivisilla arvoilla
.

[1]

Gammafunktio on määritelty kaikilla arvoilla paitsi ei-positiivisilla kokonaisluvuilla. Näissä pisteissä integraalin raja-arvo on ääretön. Kaikista kertomafunktion yleistyksistä gammafunktio on erityinen, sillä Bohrin-Mollerupin lauseen mukaan se on ainoa, joka on logaritmisesti konveksi ts. sen luonnollinen logaritmi on konveksi.

Gammafunktion arvoa ei pysty antamaan suljetussa muodossa mielivaltaisessa pisteessä.

Gammafunktion johtaminen

muokkaa

Gammafunktioon saavutaan, kun toistuvasti derivoidaan integraaliyhtälöä  .   on vain parametrin a funktio, kuten voimme odottaa. Siispä:

 

josta

 

Toistetaan:

 

Toistetaan:

 
 
 

Sijoitetaan   ja saamme

 

josta määrittelemme gammafunktion

 

n!:n yleistykseksi kompleksiluvuille. Luonnollisille luvuille:

 


Gammafunktion ominaisuuksia

muokkaa

Jos   on luonnollinen luku, niin  

Jos   on luonnollinen luku, niin saadaan:[2]

 

ja

 

Tästä tulee arvot:

 
 
 

Gammafunktio voidaan määritellä myös raja-arvona:

 

Gammafunktiolle pätee lisäksi:[2]

 
 

Katso myös

muokkaa

Lähteet

muokkaa
  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 114. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
  2. a b Eric W. Weisstein: Gamma Function mathworld.wolfram.com. Viitattu 4.5.2025. (englanniksi)

Kirjallisuutta

muokkaa

Aiheesta muualla

muokkaa