Gamma-jakauma

Gamma-jakauma on Poisson-prosessin insidenssien odotusaikojen jakauma.

Gamma-jakauman tiheysfunktion kuvaajia eri parametriparein

Gamma-jakauman kertymäfunktion kuvaajia eri parametriparein

Gamma-jakauma on jatkuva, ja sen arvojoukko on positiivisten reaalilukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja $X$ on gamma-jakautunut, merkitään

$X\sim \operatorname {Gamma} (\nu ,\lambda ).$

Jakauman parametrit toteuttavat ehdon $\nu ,\lambda >0$. Jos $n\in \mathbb {N}$, niin $\operatorname {Gamma} (n,\lambda )$ on $n$:nnen insidenssin odotusajan jakauma Poisson-prosessissa, jonka intensiteetti on $\lambda$. Tiheysfunktio on arvojoukossa

$f_{X}(x)={\frac {\lambda ^{\nu }}{\Gamma (\nu )}}x^{\nu -1}e^{-\lambda x},$

missä $\Gamma$ on gammafunktio. Kertymäfunktiota ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa. Odotusarvo ja varianssi ovat

$\operatorname {E} (X)={\frac {\nu }{\lambda }}$ ja $\operatorname {Var} (X)={\frac {\nu }{\lambda ^{2}}}.$

Yhteydet eksponenttijakaumaan ja χ²-jakaumaan:

$\operatorname {Gamma} (1,\lambda )=\operatorname {Exp} (\lambda ).$

ja jos $n\in \mathbb {N} _{+}$, niin

$\operatorname {Gamma} \left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=\chi _{n}^{2}.$

Aiheesta muualla

• Mathworld: Gamma Distribution

Todennäköisyysjakaumat