Avaa päävalikko

Odotusarvo on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaisilmiön tuottamien lukujen odotettavissa oleva arvo. Numeerisia lukuarvoja tuottavia satunnaisilmiöitä kutsutaan satunnaismuuttujiksi. Satunnaismuuttujan tuottamat luvut ja niiden todennäköisyydet muodostavat yhdessä todennäköisyysjakauman. Odotusarvo on todennäköisyysjakauman ensimmäinen tunnusluku eli momentti.[1][2][3][4]

Keskiarvo ja odotusarvo samaistetaan usein toisiinsa, vaikka odotusarvo on todennäköisyyslaskennan käsite ja keskiarvo lukuihin liittyvä tilastotieteen käsite. Odotusarvo saadaan laskemalla keskiarvo äärettömän monesta, yhden satunnaismuuttujan tuottamasta luvusta. Se voidaan myös tulkita keskiarvoksi äärettömän monesta äärellisen kokoisesta otoskeskiarvosta. Odotusarvolla on sama yksikkö kuin satunnaismuuttujalla.[1][4][5][3]

Määritelmä ja merkinnätMuokkaa

Odotusarvo voidaan merkitä eri tavoilla   [5][4][2]

Matemaattisesti odotusarvo   määritellään diskreeteille ja jatkuville satunnaismuuttujille erikseen.

Diskreetti satunnaismuuttujaMuokkaa

Diskreetin satunnaismuuttujan   saamien kaikkien arvojen joukkoa kutsutaan todennäköisyyslaskennassa perusjoukoksi ja se merkitään   Kunkin arvon esiintymistodennäköisyyttä merkitään vastaavasti   Näitä todennäköisyyksiä kutsutaan usein pistetodennäköisyyksiksi ja niitä saatetaan merkitä myös

  [5]

jossa funktioita   ja   kutsutaan pistetodennäköisyysfunktioiksi.

Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo määritellään nyt (eri merkintätapoja käyttäen)

  [2][3][6]

Esimerkkinä nopanheittoMuokkaa

Pisteluvun odotusarvo kuusitahoiselle nopalle, jonka kaikkien pistelukujen todennäköisyys on yhtä suuri, on

 .[5][2]

Noppapelissä pelaaja voi odottaa etenevänsä pelilaudalla noin 3,5 askelta kierrosta kohti.[3]

Jatkuva satunnaismuuttujaMuokkaa

Jatkuvan satunnaismuuttujan   saamien reaalilukuarvojen joukko muodostaa vähintään yhden yhtenäisen lukuvälin  , joka on reaalilukujen osajoukko. Luvut   muodostavat satunnaismuuttujan perusjoukon   ja se voidaan merkitä  . Reaalilukuja ei voida luetella, joten yksittäiseen lukuun liittyvää todennäköisyyttäkään ei voida esittää luettelemalla. Sen sijaan jokaisen välin   luvulle voidaan liittää lukuarvo käyttämällä funktiota. Tätä funktiota kutsutaan todennäköisyyslaskennassa tiheysfunktioksi. Tiheysfunktion arvot eivät ole suoraan todennäköisyyksiä, mutta sen avulla voidaan eri tapahtumille laskea ne.[5]

Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on   ja tämän avulla määritellään satunnaismuuttujan odotusarvo

 . [5][2]

Yleisempi jatkuva määritelmäMuokkaa

Määritellään satunnaismuuttujan   odotusarvo integraalina yli satunnaismuuttujan perusjoukon   todennäköisyysmitan   suhteen

 . [7]

Tämä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan   kertymäfunktion   suhteen Lebesgue–Stieltjes-integraalilla

 . [7]

Satunnaismuuttujan funktion odotusarvoMuokkaa

Jos   on mitallinen funktio, voidaan laskea sillekin odotusarvo   Jos   on diskreetti satunnaismuuttuja, on odotusarvo

  [6][7]

ja jos se on jatkuva, saadaan odotusarvoksi

  [7]

Tällä ajattelulla on mahdollista määrittää esimerkiksi origomomentteja     tai keskusmomentteja  

Ehdollinen odotusarvoMuokkaa

Satunnaismuuttujan   ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla   on  -mitallinen satunnaismuuttuja  , jolle yhtälö

 

pätee kaikilla  . Satunnaismuuttujan   ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja   on  , missä   tarkoittaa satunnaismuuttujan   virittämää sigma-algebraa.

On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla   on  , missä   on reaaliluku.

OminaisuuksiaMuokkaa

Todennäköisyysmassalla tarkoitetaan todennäköisyyslaskennassa pistetodennäköisyysfunktion pylväikköä tai tiheysfunktion kuvaajan alle jäävää aluetta. Odotusarvo on sellainen satunnaismuuttujan arvo, joka vastaa tämän alueen painopistettä. Symmetrisen jakauman keskikohta on myös jakauman odotusarvo.[5]

Satunnaismuuttujan  , jonka ulostuloina on vain vakion   arvoja, odotusarvo on

  [4]

Tästä seuraa myös, että   [5]

Odotusarvon olemassaoloMuokkaa

Todennäköisyysjakaumalla ei välttämättä ole olemassa odotusarvoa, jos jakauma ei toteuta niin sanottua itseistä satunnaismuuttujan odotusarvoa (itseisarvo)

 

tai jatkuvassa tapauksessa

  [5][6][7]

Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos sen odotusarvo on äärellinen eli  . Jos se ei ole integroituva, on se vielä kvasi-integroituva, jos   tai  .

Summat ja lineaarikombinaatiotMuokkaa

Seuraaville satunnaismuuttujille   ja   sekä reaaliluvuille   ja   voidaan johtaa seuraavia tuloksia.

Odotusarvo on lineaarinen operaattori, jolloin suorien summien odotusarvo on

  [5]

ja lineaarikombinaatioiden odotusarvo on

  [5][7]

Tällöin useamman satunnaismuuttujan tapauksissa on myös

  [4]

ja

  [4]

Luvun lisääminen satunnaismuuttujien arvoihin vaikuttaa myös sen odotusarvoon

 

Satunnaismuuttujan ensimmäinen keskusmomentti on aina nolla, koska

 

jos  

TulotMuokkaa

Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvo on kahden satunnaismuuttujan tapauksessa

 

ja usean satunnaismuuttujan tapauksessa

  [8]

Riippuvassa tapauksessa

 

Lisäksi jos  , niin  , ja yleisemmin jos  , niin  .

Ehdolliselle odotusarvolle pätee niin sanottu iteroidun odotusarvon laki

 

Populaatio- ja otoskeskiarvoMuokkaa

Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Otoskeskiarvolla tarkoitetaan suppean otoksen keskiarvoa suuremmasta populaatiosta. Sen avulla on mahdollista selvittää odotusarvon suuruus likimääräisesti, mutta kuitenkin "edullisesti". Keskiarvoa on tällöin pidettävä odotusarvon estimaattorina.[9]

Kun lasketaan otoskeskiarvojen odotusarvoa, saadaan edellisten päättelysääntöjen avulla

 

Tämä tarkoittaa sitä, että keskiarvon lausekkeella saadaan keskimäärin odotusarvon tuloksia eli estimaattori on harhaton.[10]

Keskiarvolla on toinen ominaisuus, joka liittyy estimointiin. Kun keskiarvon laskemiseksi kasvataetaan otoksen lukumäärää (otoksen ulostulot ovat riippumattomia toisistaan), käy keskiarvon varianssin

 

Keskiarvo on tarkentuva odotusarvon estimaattori, koska varianssi pienenee kun otoksen lukumäärä   kasvaa.[10]

Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on sen odotusarvo ja keskiarvo on siten odotusarvon harhaton ja tarkentuva estimaattori.

LähteetMuokkaa

  1. a b Etälukio: Todennäköisyysjakautuma ja satunnaisilmiön odotusarvo, Opetushallitus
  2. a b c d e Kivelä, Simo K.: Jakauman tunnusluvut, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
  3. a b c d Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 6, s. 66−79. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
  4. a b c d e f Weisstein, Eric W.: Expectation Value (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. a b c d e f g h i j k Mellin, Ilkka: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat, s. 155−165, luentomoniste kurssista Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2007
  6. a b c Emet, Stefan: Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen, s. 17−20, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Turun Yliopisto, 2014
  7. a b c d e f Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
  8. Mellin, Ilkka: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat, s. 204−225, luentomoniste kurssista Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2007
  9. Emet, Stefan: Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen, s. 41−46, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Turun Yliopisto, 2014
  10. a b Weisstein, Eric W.: Arithmetic Mean (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)