Avaa päävalikko

Sigma-algebra (myös σ-algebra) on mittateoriassa olennainen joukkoperhe, joka on tietyn perusjoukon osajoukkojen rakennelma. Esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa sigma-algebra tulkitaan havaitsijalle eroteltavissa olevien satunnaiskokeen lopputulosten joukkona.

Sigma-algebran määritelmäMuokkaa

Olkoon   mielivaltainen epätyhjä joukko. Sigma-algebra perusjoukolla   on sen osajoukkojen joukkoperhe  , joka toteuttaa ehdot:

  1.  
  2. jos  , niin  :n komplementtijoukko  
  3. jos   kaikilla  , missä   on numeroituva joukko, niin  .

Sigma-algebran ominaisuuksiaMuokkaa

Sigma-algebran   ominaisuuksia:

  • perusjoukko kuuluu sigma-algebraansa, eli  
  • Sigma-algebran joukkojen väliset yleisimmät joukko-operaatiot tuottamat joukot kuuluvat kyseiseen sigma-algebraan. Jos   ja  , niin esimerkiksi  ,   ja  
  • jos   kaikilla  , missä   on numeroituva, niin  
  • sigma-algebrojen välinen mielivaltainen leikkaus on sigma-algebra

Sigma-algebraan liittyviä käsitteitäMuokkaa

Triviaali sigma-algebra on joukko  . Se on suppein sigma-algebra.

Sigma-algebran   ali-sigma-algebra on joukkoperhe  , joka on sigma-algebra samalla perusjoukolla. Esimerkiksi triviaali sigma-algebra on minkä tahansa samalla perusjoukolla määritellyn sigma-algebran alisigma-algebra.

Olkoon   mielivaltainen joukkoperhe joukon   osajoukkoja. Joukkoperheen   virittämä sigma-algebra, jota merkitään  , on suppein sigma-algebra, jolla  .

Olkoon   kuvaus  . Kuvauksen   virittämä sigma-algebra, jota merkitään  , on suppein sigma-algebra, jonka suhteen   on mitallinen.   on suppein sigma-algebra, jonka suhteen   ja   ovat mitallisia.

Olkoon   sigma-algebra ja   sen alisigma-algebra jokaisella  . Jos   jokaisella  , niin   on historia tai informaatiovirta, joka on siis kasvava jono sigma-algebroja.

Tärkeimpiä sigma-algebrojaMuokkaa

Erityisesti reaalilukujen Borel-joukot muodostavat mittateoriassa tärkeän sigma-algebran. Samoin Lebesgue-mitalliset joukot.

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa