Lebesgue–Stieltjes-integraali

Lebesgue–Stieltjes-integraali on integraali, jonka tunnistaa merkintätavasta

,

missä ja ovat funktioita. Sitä voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista.[1] Lebesgue-Stieltjes-integraalilla on sovelluksia esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastisten prosessien alalla.

Lebesgue-Stieltjes-integraalin muodollinen määrittelyMuokkaa

Integraalina Lebesgue-Stieltjes-integraali on määriteltävissä tietyn numeroituvasti additiivisen positiivisen mitan suhteen. Tässä määritellään kyseinen mitta.

Olkoon  ,  , funktio   kasvava ja oikealta jatkuva sekä raja-arvo

 

kaikissa pisteissä   olemassa.

Olkoon  . Määritellään joukkofunktio   kaavalla  . Tällöin   on laajennettavissa numeroituvasti additiiviseksi positiiviseksi mitaksi, joka on määritelty kaikilla välin   Borel-joukoilla. Samaistetaan jatkossa tämä mitta joukkofunktion   kanssa.

Mitallisen funktion   Lebesgue-Stieltjes-integraali on sen integraali mitalla  , eli yli määrittelyjoukkonsa se on mittaintegraalina

 .

Sille käytetään kuitenkin merkintää

 .

Funktiota   kutsutaan integrandiksi ja funktiota   integraattoriksi.

Lebesgue-Stieltjes-integraali laajennetaan vielä määritellyiksi integraattoreille, jotka ovat rajoitetusti heilahtelevia. Jos   on rajoitetusti heilahteleva, on sille olemassa hajotelma  , missä   ja   ovat kasvavia funktioita  . Tällöin määritellään

 .

Lebesgue-Stieltjes-integraalille erityisiä ominaisuuksiaMuokkaa

Lebesgue-Stieltjes-integraali on integraalin perusominaisuuksien mukaan automaattisesti lineaarikuvaus integrandinsa suhteen, mutta se on sitä myös integraattorinsa suhteen, toisin sanoen bilineaarinen:

 .

Lebesgue-Stieltjes-integraalia voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Jos integraattori on identiteettifunktio, niin integraali supistuu funktion   Riemannin integraaliksi yli välin  :

 

olettaen, että   on Riemann-integroituva.

Jos   on derivoituva sekä   ja   ovat Riemann-integroituvia, niin Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvon voi laskea Riemannin integraalina. Tällöin nimittäin pätee kaava

 .

Jos funktiolla   on epäjatkuvuuskohta pisteessä   ja se on muualla derivoituva sekä muut edelliset oletukset pätevät, niin

 .

Yleisemmässä tapauksessa Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvot voi laskea numeerisesti. Jos   on vasemmalta jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja rajoitettu, niin

 ,

missä   on tihentyvä jono välin   jakoja, eli  , kun  .

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 266. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa