Itseisarvo

Itseisarvo kuvaa matematiikassa luvun suuruutta riippumatta sen etumerkistä.

Reaaliluvun itseisarvo

Itseisarvon kuvaaja origon läheisyydessä. Kuvaajasta ilmenee, ettei itseisarvo voi saada negatiivisia arvoja.

Reaaliluvun itseisarvo on sen etäisyys lukusuoran nollasta riippumatta, onko luku positiivinen tai negatiivinen. Luvun $a$ itseisarvoa merkitään $|a|$. Itseisarvon muodollinen määritelmä on

$|a|={\begin{cases}a,&{\mbox{jos }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{jos }}a<0\end{cases}}.$

Positiivisen reaaliluvun ja nollan itseisarvo on luku itse, negatiivisen reaaliluvun itseisarvo on luvun vastaluku eli luku kerrottuna luvulla −1. Esimerkiksi luvun kolme itseisarvo merkitään $|3|$ ja se on 3. Miinus kahden itseisarvo puolestaan on kaksi, $|-2|=2$. Helpoiten negatiivisen lukuarvon itseisarvon saa lasketuksi poistamalla miinusmerkin.

Kompleksiluvun itseisarvo eli moduuli

Kompleksiluvun $c=a+ib$ itseisarvo on $|c|=|a+ib|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. Tämä on sama kuin kompleksilukua c kompleksitasolla vastaavan pisteen etäisyys origosta. Kompleksilukujen itseisarvoa kutsutaan myös moduuliksi. Itseisarvo voidaan yhtäpitävästi esittää myös muodossa $|c|={\sqrt {c^{*}*c}}$, missä c^* on luvun c kompleksikonjugaatti.

Muita itseisarvoja

Vektorin itseisarvosta käytetään tavallisesti nimitystä normi ja se vastaa vektorin euklidista pituutta. Tavallisen kolmiulotteisen vektorin v pituus on

$|\mathbf {v} |=|a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} |={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Kvaternion itseisarvo määritellään analogisesti vektorien kanssa

$|q|=|a+ib+jc+kd|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}$

Itseisarvon ominaisuuksia

Itseisarvolle voidaan todeta pätevän seuraavat laskusäännöt. Olkoon $a,b\in \mathbb {R}$. Tällöin pätee

$\ |-a|=|a|$

$\ |ab|=|a||b|$

$\ |a^{2}|=|a||a|=|a|^{2}=a^{2}$

$\ |a|-|b|\leq ||a|-|b||\leq |a\pm b|\leq |a|+|b|$ (kolmioepäyhtälö)

$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}$

Lähteet

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus : TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000-2013). (1020 sivua) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. Teoksen verkkoversio.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0