Avaa päävalikko

Matematiikassa kolmioepäyhtälö on lause, jonka mukaan kolmion sivun pituus on vähintään kolmion kahden muun sivun pituuden erotuksen itseisarvo ja korkeintaan yhtä suuri kuin kahden muun sivun pituuden summa.[1]

Kolmioepäyhtälö on voimassa monissa avaruuksissa, kuten reaaliluvuilla, euklidisissa avaruuksissa, Lp-avaruuksissa ja sisätuloavaruuksissa. Se esiintyy myös monissa matemaattisen ja funktionaalianalyysin määritelmissä, kuten esimerkiksi normiavaruuden ja metrisen avaruuden määritelmässä.

NormiavaruusMuokkaa

Normiavaruudessa V kolmioepäyhtälö on muotoa

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||     kaikilla V:n alkioilla x, y.

Siten vektoreiden summan normi on enintään samojen vektoreiden normien summa.

Reaaliluvut muodostavat normiavaruuden, missä normina on itseisarvo, joten kaikille reaaliluvuille x ja y on voimassa

 

Kolmioepäyhtälö on hyödyllinen matemaattisessa analyysissä arvioimaan kahden luvun summan suuruutta. Myös summan alarajalle saadaan arvio. Tätä nimitetään toisinaan käänteiseksi kolmioepäyhtälöksi. Sen mukaan kaikilla reaaliluvuilla x ja y on voimassa

 

Nämä voidaan yhdistää, jolloin saadaan

 

Metrinen avaruusMuokkaa

Jos metrisessä avaruudessa M on annettu metriikka d, on kolmioepäyhtälö muotoa

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     kaikilla M:n alkioilla x, y ja z. Siten etäisyys x:stä z:aan on enintään yhtä suuri kuin etäisyys x:stä y:hyn ja y:stä z:aan.

SeurauksiaMuokkaa

Seuraavat kolmioepäyhtälön seuraukset ovat usein hyödyllisiä. Ne antavat alarajoja ylärajojen sijasta:

| ||x|| - ||y|| | ≤ ||x - y|| tai metriikan termein | d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z).

Tämän mukaan siis normi ||–||, samoin kuin metriikka d(x, –), ovat 1-Lipschitz, ja siten jatkuvia.

Katso myos Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö.

Minkowskin avaruuden kolmioepäyhtälöMuokkaa

Tavallisessa Minkowskin avaruudessa kolmioepäyhtälön suunta kääntyy:

||x + y|| ≥ ||x|| + ||y||     kaikilla V:n alkioilla x, y joille ||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 ja tx ty ≥ 0

Esimerkkinä tästä on suppean suhteellisuusteorian kaksosparadoksi.

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 201–202. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa