Lp-avaruus

funktioavaruus matematiikassa

Matematiikassa Lp-avaruudet ovat funktioavaruuksia, jotka ovat p-normilla varustettujen äärellisulotteisten vektoriavaruuksien luonnollisia yleistyksiä.

Lp-avaruuksia kutsutaan myös Lebesgue-avaruuksiksi Henri Lebesguen mukaan [1], joskin Bourbakin[2] mukaan ne esitteli ensimmäisenä Riesz[3].

Lp-avaruudet ovat tärkeitä Banach-avaruuksia funktionaalianalyysissä ja siten tärkeitä topologisia vektoriavaruuksia. Niillä on sovelluksia fysiikassa, tilastotieteessä, taloustieteessä, tekniikassa ja muilla aloilla.

MotivaatioMuokkaa

 
Eri p-normien yksikköympyröiden kuvaajia (eli pisteet, joihin origista piirretyn vektorin p-normi on 1').
 
Yksikköympyrä (superellipsi) p = 3/2 -normilla

Tässä osiossa määritellään reaaliset äärellisulotteiset Lp-avaruudet eli Lp-normit reaaliselle vektoriavaruudelle Rn. Kahden vektorin summa avaruudessa Rn määritellään

 

ja skalaarilla (eli reaaliluvulla)   kertominen

 

Vektorin x = (x1, x2, …, xn) pituus määritellään yleensä Euklidisella normilla

 

mutta on monia erilaisia tapoja määritellä vektorin x pituus. Jos p on reaaliluku, p ≥ 1, niin vektorin x Lp-normi määritellään

 .

Näin ollen L2 on tavallinen Euklidinen normi ja etäisyys L1 on koordinaattien erojen summa).

Tämä on tapana laajentaa arvolle p = ∞ määrittelemällä

 ,

mikä on sama kuin raja-arvo Lp-normista, kun p lähestyy ääretöntä.

Voidaan todistaa, että kaikilla arvoilla p ≥ 1 tämä määritelmä toteuttaa kaikki "pituusmitan" eli normin määritelmän ehdot.

Millä tahansa arvolla p ≥ 1 avaruus Rn varustettuna Lp-normilla (eli p-normilla) on Banach-avaruus.

Kun 0 < p < 1Muokkaa

 
Astroidi eli yksikköympyrä p = 2/3 -metriikassa

Avaruudessa Rn, kun n > 1, kaava

 

ei toteuta kolmioepäyhtälöä, joten se ei ole normi. Silti funktio

 

määrittelee metriikan eli etäisyysmitan. Metrisesta avaruudesta (Rn, dp) käytetään merkintää ℓnp. Tämä metriikka määrittelee saman topologian kuin tavallinenkin topologia; kyseinen avaruus on lokaalisti konveksi topologinen vektoriavaruus, vaikka sen yksikköpallo onkin konkaavi.

p-avaruudet Muokkaa

Pääartikkeli: jonoavaruudet

Tämä p-normi voidaan yleistää jonoille eli vektoreille, joilla on äärettömän monta koordinaattia (komponenttia). Näin syntyvästä avaruudesta käytetään nimitystä p. Tämän erikoistapauksia ovat:

  • 1, niiden absoluuttisesti summautuvien jonojen avaruus eli niiden jonojen, joiden muodostama sarja on absoluuttisesti konvergoiva,
  • 2, neliösummautuvien jonojen avaruus, tärkeä Hilbert-avaruus, ja
  • , rajoitettujen jonojen avaruus.

Tämä p-normi määritellään

 

Jos normi on ääretön, x ei kuulu avaruuteen p.

Vastaavasti ∞-normi määritellään

 

Voidaan todistaa, että

 ,

jos oikea puoli on äärellinen tai vasen puoli on ääretön. Kaikki nämä ℓp-avaruudet ovat Banach-avaruuksia.

Alla esitetään kaikkien yleisin tapaus, jossa vektorit x ovatkin funktioita f ja niillä voi olla miten paljon "koordinaatteja" tahansa, jopa ylinumeroituva määrä. Tällöin normin määritelmässä tietenkin korvataan summa integraalilla. Onhan summa vain Lebesguen integraalin erikoistapaus.

Lp-avaruudetMuokkaa

Olkoon 1 ≤ p < ∞ ja olkoon (S, Σ, μ) mitta-avaruus.  -avaruus (ei normiavaruus ja eri asia kuin Lp-avaruus) on kaikkien niiden mitallisten funktioiden S C (tai S R) joukko, joiden itseisarvon p:nnen potenssin integraali on äärellinen eli

 

Tämä avaruus on vektoriavaruus operaatioilla

 

kaikilla skalaareilla λ.

Minkowskin epäyhtälö sanoo, että kolmioepäyhtälö pätee normille || . ||p. Niinpä tämä avaruus   on seminormiavaruus. Siitä saadaan Banach-avaruus   samaistamalla toisiinsa ne funktiot, joiden erotuksen seminormi on nolla eli jotka eroavat toisistaan vain nollamitallisessa joukossa. Siis   on

 

missä

 

Avaruus L(S, μ) määritellään vastaavasti essential supremum -normilla

 

Jälleen

 

jos fL(S, μ) ∩ Lq(S, μ) jollain q < ∞.

Arvoilla 1 ≤ p ≤ ∞ avaruus Lp(S, μ) on Banach-avaruus. Rieszin-Fischerin lause sanoo, että se on täydellinen.

Usein avaruuden nimi lyhennetään Lp(μ) tai Lp.

Kaikki yllä esitetty pätee myös yleisille Bochner-avaruuksille eli sellaisten funktioiden Lp-avaruuksille, joiden arvot eivät ole reaali- tai kompleksilukuja vaan jonkin tietyn Banach-avaruuden alkioita. Eräille muunarvoisillekin funktioille osa yllä esitetystä on yleistetty.

ErikoistapauksiaMuokkaa

Kuten ℓ2-avaruus, myös avaruus L2 on luokkansa ainoa Hilbert-avaruus (ja ainoa, jonka normi on yhteensopiva jonkin sisätulon kanssa). Kompleksiarvoisille funktioille L2-sisätulo määritellään

 

Kompleksitapauksessa L on kommutatiivinen C*-algebra.

p-avaruudet (1 ≤ p ≤ ∞) ovat erikoistapaus Lp-avaruuksista, jossa joukko S on positiivisten kokonaislukujen joukko N ja mitta μ on lukumäärämitta. Yleisemminkin mille tahansa joukolle S avaruutta L p lukumäärämitalla merkitään ℓp(S).

Mikä tahansa Hilbert-avaruus on lineaarisesti isomorfinen avaruuden ℓ2(V) kanssa, missä V on mainitun Hilbert-avaruuden Hilbert-kanta tai mikä tahansa sen kanssa yhtä mahtava joukko.

LähteetMuokkaa

  • Adams, Robert A. & Fournier, John F. (2003). Sobolev Spaces, 2nd, Academic Press. ISBN 978-0120441433. 
  • Bourbaki, Nicolas (1987). Topological vector spaces, Elements of mathematics. Springer-Verlag. ISBN 978-3540136279. 
  • DiBenedetto, Emmanuele (2002). Real analysis. Birkhäuser. ISBN 3-7643-4231-5. 
  • (1958) Linear operators, volume I. Wiley-Interscience. 
  • Duren, P. (1970). Theory of Hp-Spaces. Academic Press. 
  • Grafakos, Loukas (2004). Classical and Modern Fourier Analysis. Pearson Education, Inc., 253–257. ISBN 0-13-035399-X. 
  • (1965) Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 
  • (1984) An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89. Cambridge University Press, xii+240. ISBN 0-521-27585-7. 
  • Riesz, Frigyes (1910). "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen" 69: 449–497. 
  • (1991) Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. 
  • Walter Rudin (1987). Real and complex analysis, 3rd, McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. 
  • Titchmarsh, EC (1976). The theory of functions. Oxford University Press. ISBN 9780198533498. 
  • Aapo Rantalainen: Avaruuden L1(Rn) differentioivien kantojen ominaisuuksista (PDF) (Pro gradu) 2006. Helsingin yliopisto, Matematiikan laitos. Arkistoitu 11.11.2013.

ViitteetMuokkaa

  1. Dunford & Schwartz, 1958, III.3
  2. Bourbaki 1987
  3. Riesz 1910