Avaa päävalikko
Vektorien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen: vektori v (sininen) lisätään vektoriin w (punainen, ylempi kuvio). Alla w venytetään kertoimella 2 ja lasketaan summa .

Vektoriavaruus eli lineaariavaruus on matemaattinen struktuuri, joka on lineaarialgebran peruskäsite. Niitä käytetään paljon erityisesti matriisilaskennassa ja funktionaalianalyysissa. Vektoriavaruutta ajatellaan joukkona, johon on määritelty kaksi laskutoimitusta: alkioiden summa ja ns. skalaarilla kertominen. Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan vektoreiksi.

Sisällysluettelo

JohdantoMuokkaa

   

Esimerkiksi vektoriavaruuden   eli "x-y-tason" alkioita eli vektoreita ovat reaalilukukaksikot  . Kahden tällaisen vektorin summa lasketaan koordinaateittain:  .

Skalaarilla eli reaaliluvulla kerrottaessa jokainen tällaisen vektorin koordinaatti kerrotaan annetulla reaaliluvulla, esim.  . Tämä siis tuottaa skalaarista ja vektorista vektorin.

Vastaavat säännöt pätevät kaikissa  -avaruuksissa, mutta on myös paljon monimutkaisempia ja jopa ääretönulotteisia vektoriavaruuksia, ja joidenkin vektoriavaruuksien skalaarikunta on jokin muu kuin reaalilukujen kunta  .

Määritelmä[1]Muokkaa

Olkoon   kunta (ns. kerroinkunta), V joukko ja kuvaukset   ja  . Määrittelemme, että kolmikko   on vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) jos ja vain jos kuvaukset f ja g toteuttavat ehdot

  1. Kuvaus f on vaihdannainen:

      kaikilla  .

  2. Kuvaus f on liitännäinen:

      kaikilla  .

  3. Kuvauksen f nollavektori:

    On olemassa  , jolle   kaikilla  .

  4. Vektorin vastavektori:

    Jokaiselle   on olemassa  , jolle  .

  5. Neutraalialkio:

    Kunnan   neutraalialkiolle   pätee   kaikilla  .

  6. Osittelulaki:

      kaikilla   ja  .

  7. Skalaarien summan osittelu:

      kaikilla   ja  .

  8. Skalaarien tulon osittelu:

      kaikilla   ja  .

Vektoriavaruuden kuvausta f kutsutaan vektoreiden yhteenlaskuksi ja g skalaarilla kertomiseksi. Ne ovat oletusten nojalla binäärioperaatioita joukossa V. Yleisesti näille binäärioperaatioille käytetään lineaariavaruuksissa merkintöjä

  kaikilla   ja   kaikilla   ja  .

Mikäli  , kyseessä on reaalinen vektoriavaruus ja jos  , niin kyseessä on kompleksinen vektoriavaruus[1].

Vektoriavaruus on erikoistapaus modulista. Toisin kuin moduleilla, jokaisella epätriviaalilla vektoriavaruudella on kanta, eli joukko lineaarisesti riippumattomia vektoreita, joiden lineaarikombinaationa jokainen avaruuden vektori voidaan ilmaista. Usein sovitaan, että tyhjä joukko on triviaalin vektoriavaruuden kanta. Vektoriavaruus on äärellisulotteinen, jos sillä on kanta, jossa on äärellinen määrä vektoreita. Muussa tapauksessa vektoriavaruus on ääretönulotteinen. Vektoriavaruuden kanta voidaan yleensä valita äärettömän monella eri tavalla, mutta valinnasta riippumatta äärellisulotteisen vektoriavaruuden kannassa on aina yhtä monta vektoria. Myös ääretönulotteisen vektoriavaruuden eri kannat ovat keskenään yhtä mahtavia. Kannan olemassaolo voidaan todistaa Zornin lemman avulla ja yhtämahtavuus ultrafiltterilemman avulla.

EsimerkkejäMuokkaa

Kannattaa huomata, että vektoriavaruuden alkiot eivät välttämättä ole järjestettyjä lukujoukkoja, joiksi vektorit usein mielletään, kuten myöskään kerroinkunnan alkiot eivät välttämättä ole lukuja. Vektoriavaruuden alkioina voivat "tavallisten" vektorien sijaan olla yhtä hyvin matriisit tai jopa funktiot. Eräs vektoriavaruus, ns. triviaali vektoriavaruus, on vain nolla-alkiosta koostuva joukko {0}. Tärkeimpia vektoriavaruuksia matematiikassa ovat

  • Euklidinen avaruus   skalaarikuntana  .
  • Kompleksikertoimisten matriisien   avaruus skalaarikuntana  .
  • Jonoavaruudet   skalaarikuntana  .
  • p-integroituvien funktioiden avaruudet   skalaarikuntana  

Tosin riippuen tapauksesta on myös yleistä käyttää edellä olevissa esimerkeissä skalaarikuntana kompleksilukuja.

VektorialiavaruusMuokkaa

Vektoriavaruuden (V,f,g) osajoukkoa A kutsutaan aliavaruudeksi jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

  1. Joukko A on suljettu yhteenlaskun suhteen:

      kaikilla  

  2. Joukko A on suljettu skalaarilla kertomisen suhteen:

      kaikilla   ja  .

Esimerkiksi vektoriavaruuden   aliavaruus on mikä tahansa origon kautta kulkeva suora. Lisäksi esimerkiksi jonoavaruuden   eräs aliavaruus on nollaan suppenevien jonojen joukko.

SovelluksiaMuokkaa

Vektoriavaruuksiin voidaan liittää lisärakenteena esimerkiksi normi tai sisätulo. Näiden avulla voimme määritellä mm. topologisen struktuurin vektoriavaruuksiin. Topologisista vektoriavaruuksista enemmän artikkeleissa normiavaruus ja sisätuloavaruus.

LähteetMuokkaa

  1. a b Rynne, Bryan P. ja Youngson, Martin A.: ”1. Preliminaries”, Linear Functional Analysis, s. 3. Springer, 2000.

KirjallisuuttaMuokkaa