Avaa päävalikko

Lineaarialgebra on matematiikan osa-alue, joka tutkii vektoreita, vektoriavaruuksia, lineaarikuvauksia ja lineaarisia yhtälöryhmiä. Vektoriavaruudet ovat nykyisin matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Lineaarialgebraa tarvitaan sekä abstraktissa algebrassa että funktionaalianalyysissä.[1]

KäsitteitäMuokkaa

Vektoriavaruuden alkiojoukko   on lineaarisesti riippumaton, jos propositio   toteutuu vain kun kaikki kertoimet   ovat nollia. Jos alkiot eivät ole lineaarisesti riippumattomia, ne ovat lineaarisesti riippuvia.

Alkiojoukko   on vektoriavaruuden   kanta, jos se on lineaarisesti riippumaton ja jokainen  :n alkio   voidaan esittää kantavektoreiden lineaariyhdisteenä:  , missä kertoimet   kuuluvat annettuun kuntaan. Lineaarinen riippumattomuus takaa sen, että kertoimet   ovat yksikäsitteiset. Kanta on siis vektoriavaruuden minimaalinen virittäjäjoukko.

Eräs kannan sovellutus seuraa välittömästi lineaarioperaattorin   tarkastelemisesta. Operaattorin nolla-avaruus eli ydin on  :n vektorialiavaruus ja kuva-avaruus puolestaan  :n vektorialiavaruus. Jos avaruuksille   tunnetaan kannat, voidaan niistä muodostaa (mahdollisesti suppeammat) kannat, jotka ilmaisevat kyseiset aliavaruudet.

Numeerisessa laskennassa käsitellään lähes aina reaalilukuvektoreita, ja nämä ovat tavallisesti tapoja ilmaista yksikäsitteisesti vektoriavaruuden alkioita jonkin kannan suhteen. Huomaa, että itse avaruuksien alkiot voivat olla jotain aivan muuta kuin reaalilukuvektoreita!

HistoriaaMuokkaa

 
William Rowan Hamilton.

Modernin lineaarialgebran synty sijoittuu vuoteen 1843, jolloin irlantilainen matemaatikko William Rowan Hamilton löysi kvaterniot. Vuonna 1844 Hermann Grassmann julkaisi kirjansa Die lineare Ausdehnungslehre.

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 240. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.