Avaa päävalikko

Matematiikassa isomorfismi on algebrallisten rakenteiden välinen kuvaus, joka säilyttää laskutoimituksen tai -toimitukset. Epämuodollisesti kuvaten kaksi isomorfista rakennetta ovat sama asia eri tavalla nimettynä.

Matemaattisesti sanoen isomorfismi on bijektiivinen kuvaus f, jolle sekä f että f−1 ovat homomorfismeja. [1]

EsimerkkejäMuokkaa

Tyyppiesimerkki on reaalilukujen yhteenlaskun ja positiivisten reaalilukujen kertolaskun välinen yhteys eksponenttifunktiolla, "tulon logaritmi on tekijöiden logaritmien summa". Täsmällisesti määritellen   ja   ovat ryhmiä. Valitaan funktiota   varten jokin kantaluku, vaikkapa 10. Tällöin   ja  . Nyt

 

ja

 

eli esimerkiksi  . Ryhmät ovat sama asia sikäli, ettei niitä voi erottaa toisistaan näkemällä pelkästään millä tavalla laskutoimitus operoi ryhmän sisällä.

Äärellinen esimerkki: Olkoon joukko   kokonaisluvut väliltä 1-10 ja laskutoimitus  , jonka arvo on luvuista suurempi. Olkoon joukko   kokonaisluvut väliltä 11-20 ja laskutoimitus  , jonka arvo on luvuista pienempi. Nyt   ja   ovat algebrallisia rakenteita, tarkemmin sanoen vaihdannaisia monoideja. Olkoon funktio  . Se on samalla itsensä käänteisfunktio. Tämä funktio on bijektio ja mainittujen monoidien välinen isomorfismi.

Määritellään ensin kolmen ja kahden alkion ryhmät   ja  . Laskutoimitus   tarkoittaa yhteenlaskua, jonka tuloksesta otetaan jakojäännös ryhmän koolla. Taulukkomuodossa ryhmät näyttävät tältä:

Kolmen alkion ryhmä
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
Kahden alkion ryhmä
+ 0 1
0 0 1
1 1 0

Laaditaan sitten pareittainen yhteenlaskutaulukko, jossa alkiot ovat pareja 3- ja 2-alkioisesta ryhmästä. Verrataan tätä ryhmään  , mutta ei merkitä alkioita 0-5 järjestyksessä. Värjätään alkioiden (2,0) ja 2 tausta keltaiseksi, jolloin osa rakennetta tulee selvemmin esille.

Alkioparien ryhmä
+ (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
(0,0) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
(0,1) (0,1) (0,0) (1,1) (1,0) (2,1) (2,0)
(1,0) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) (0,0) (0,1)
(1,1) (1,1) (1,0) (2,1) (2,0) (0,1) (0,0)
(2,0) (2,0) (2,1) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)
(2,1) (2,1) (2,0) (0,1) (0,0) (1,1) (1,0)
Kuuden alkion ryhmä
+ 0 3 4 1 2 5
0 0 3 4 1 2 5
3 3 0 1 4 5 2
4 4 1 2 5 0 3
1 1 4 5 2 3 0
2 2 5 0 3 4 1
5 5 2 3 0 1 4

Ryhmät ovat keskenään isomorfiset. Esimerkiksi lukuja 0, 1 ja 2 vastaavat parit (0,0), (1,1) ja (2,0).

KäyttöMuokkaa

Matemaatikot käyttävät isomorfismia usein säästääkseen työtä. Jos kahden ennestään tuntemattoman matemaattisten struktuurien välille löydetään sopiva isomorfismi, voidaan monet lauseet siirtää toista struktuuria koskevaksi. Samoin uudessa ympäristössä ongelmaan voidaan löytää uusia ratkaisukeinoja ja käyttää hyväksi alkuperäisen struktuurissa hyväksi havaittuja ratkaisukeinoja.

LähteetMuokkaa

  1. Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 102, 231, 243. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.