Homomorfismi

Homomorfismi on yksi abstraktin algebran peruskäsitteitä. Koska abstrakti algebra tutkii joukkoja ja niitä operaatioita, jotka antavat joukolle mielenkiintoisia lisärakenteita, kiinnostavimmat algebrallisia struktuureita koskevat funktiot ovat ne, jotka säilyttävät laskutoimituksen.

Tarkastellaan esimerkiksi luonnollisia lukuja ja niiden yhteenlaskua. Funktiolla, joka säilyttää laskutoimituksen, tulee olla seuraava ominaisuus: f(a + b) = f(a) + f(b). Huomaa, että esimerkiksi f(x) = 3x on homomorfismi, sillä f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b).

Homomorfismin ei tarvitse kuvata joukkoa samankokoiselle joukolle. Otetaan esimerkiksi lähtöjoukosta reaaliluvut ja niiden yhteenlasku, sekä maalijoukosta positiiviset reaaliluvut kertolaskuineen. Funktiolla, joka säilyttää laskutoimitukset, tulee olla seuraava ominaisuus kaikilla reaaliluvuilla a, b: f(a + b) = f(a) * f(b). Differentiaali­laskennan perusteista huomataan, että esimerkiksi funktiolla f(x) = e^x on tämä ominaisuus.

Tärkeä homomorfismeja koskeva tulos on, että laskutoimituksen neutraalialkiot kuvautuvat neutraalialkioiksi. Ensimmäisessä esimerkissä pätee f(0)=0 ja 0 on yhteenlaskun neutraalialkio. Toisessa esimerkissä f(0) = 1, koska 0 on yhteenlaskun neutraalialkio ja 1 on kertolaskun neutraalialkio.

Jos tarkastelemme monia annetun joukon operaatioita, niin tällöin kaikkien operaatioiden tulee säilyä, jotta funktio olisi homomorfismi kategoriateorian mielessä. Vaikka joukot voivat olla samat, voi kuvaus olla esimerkiksi ryhmähomomorfismi, mutta ei rengashomomorfismi, koska se ei välttämättä säilytä renkaan additiivista rakennetta.

Jos kahden algebrallisen rakenteen välillä on homomorfismi, niiden rakenteissa on jotain samankaltaista - sanoohan laskutoimituksen säilymisen ehto juuri, että ei ole väliä, lasketaanko laskut ennen vai jälkeen homomorfisen kuvauksen. Tämän samankaltaisuuden muotoilee tarkasti homomorfialause.

Ryhmähomomorfismi

Kuvaus $f:G\rightarrow H$ ryhmältä $G$ ryhmään $H$ on ryhmähomomorfismi, jos se toteuttaa seuraavan vaatimuksen ryhmien binäärioperaatioiden $\cdot ,\star$ suhteen kaikilla ryhmien alkioilla:

$f(x\cdot y)=f(x)\star f(y)$.

Ryhmähomomorfismi säilyttää ykkösalkion, sillä kertomalla yhtälö $f(1)\star f(1)=f(1\cdot 1)$ puolittain $f(1)^{-1}$:llä saadaan $f(1)=1$.

Rengashomomorfismi

Kuvaus $f:R\rightarrow R'$ renkaalta $(R,+,\cdot )$ renkaaseen $(R',\oplus ,\star )$ on rengashomomorfismi, jos seuraavat ehdot toteutuvat kaikilla renkaan $R$ alkioilla:

• $f(a+b)=f(a)\oplus f(b)$
• $f(a\cdot b)=f(a)\star f(b)$
• $f(1_{R})=1_{R'}$.

Toisin kuin ryhmien tapauksessa, viimeisin ehto on erikseen mainittava. Koska renkaan alkioilla ei aina ole käänteisalkioita, yllä esiintyvää, ryhmien tapauksessa toimivaa johtoa ei ainakaan voi käyttää. Itse asiassa kaikille renkaille $R$ ja $R'$ on olemassa kaksi ensimmäistä ehtoa toteuttavaa kuvausta, jotka eivät toteuta viimeistä. Kolmas ehto ei näin ollen voi olla seurausta kahdesta ensimmäisestä. Yksinkertaisin esimerkki ensimmäiset ehdot toteuttavasta, mutta viimeistä rikkovasta kuvauksesta on nollakuvaus $f:R\rightarrow R',f(x)=0_{R'}\quad \forall x\in R$.

Kirjallisuutta

• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.