Matemaattinen optimointi

Matemaattinen optimointi tarkoittaa määritellyn kohde-, hyöty- tai kustannusfunktion perusteella parhaan ratkaisun valintaa kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta. Kun kohdefunktio kuvaa ratkaisusta saatavaa hyötyä, jonka halutaan olevan mahdollisimman suuri, kutsutaan optimointitehtävää maksimoinniksi. Kun taas halutaan ratkaisusta koituvan mahdollisimman vähän kustannuksia tai haittaa, kutsutaan tehtävää minimoinniksi.

Formaalisti optimointi on sellaisen pisteen etsiminen ratkaisujoukosta , missä funktio saa joko pienimmän tai suurimman arvonsa. Tätä pistettä kutsutaan minimipisteeksi.

Jokaista maksimointiongelmaa vastaa tietty minimointiongelma, joka ratkaisee maksimointiongelman. Funktion maksimointi on sama tehtävä kuin funktion minimointi. Näin ollen matemaattisen optimointiteorian riittää tarkastella vain minimointiongelmaa.

MerkintätapaMuokkaa

Tehtävää, jonka tarkoituksena on etsiä   pienin arvo, kutsutaan minimointitehtäväksi. Tehtäväkuvaus merkitään formaalisti

 

missä   on tehtävän kohdefunktio.

Vastaavasti kohdefunktion maksimointitehtävää merkitään

 

Optimointitehtävässä

 

joukkoa   kutsutaan käyväksi ratkaisujoukoksi tai vain käyväksi joukoksi. Käypä joukko voidaan määritellä esimerkiksi

 

Monen muuttujan tehtävässä käypä ratkaisujoukko voidaan määritellä esimerkiksi

 

Optimointitehtävän globaali minimi on piste  , jolle pätee   kaikilla  , jotka kuuluvat käypään alueeseen. Tätä pienempää funktion arvoa ei voida saavuttaa käyvässä joukossa.

Funktiolla voi olla yksi tai useampi paikallinen optimipiste, lokaali optimi. Paikallinen minimi määritellään pisteeksi  , jolle on olemassa   siten, että   ja   kuuluu käypään joukkoon. Toisin sanoen on olemassa jokin alue eli ympäristö, jossa piste   antaa pienempiä funktion arvoja kun muut pisteet.

OptimointitehtävätyyppejäMuokkaa

  • Konveksin optimointitehtävän kohdefunktio sekä mahdolliset rajoitusehdot ovat konvekseja. Konveksin minimointitehtävän tärkeä ominaisuus on, että paikallinen minimipiste on myös tehtävän globaali minimipiste.
    • Lineaarisen optimointitehtävän (engl. lyh. LP) kohdefunktio ja rajoitusehdot ovat lineaarisia funktioita. Lineaarinen tehtävä on laajasti tutkittu ja tälle on kehitetty paljon tehokkaita ratkaisualgoritmeja kuten George Dantzigin vuonna 1947lähde?.
    • Neliöllinen optimointitehtävä on konveksin optimointitehtävän erikoistapaus, missä kohdefunktio on neliöllinen ja käypä ratkaisujoukko monitahokas.
  • Epälineaarinen optimointi on yleisnimitys optimointitehtävälle, jonka kohdefunktio ja mahdolliset rajoitusehdot ovat epälineaarisia
  • Stokastisen optimointitehtävän kohdefunktiossa ja rajoitusehdoissa esiintyy yksi tai useampi satunnaismuuttuja.
  • Kokonaislukuoptimointitehtävän käypä ratkaisujoukko kuuluu kokonaislukujen joukkoon. Kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen on laskennallisesti haastavaa ja usein tyydytään riittävän hyvään ratkaisuun globaalin optimiratkaisun sijasta.
    • Dynaaminen ohjelmointitehtävä on tehokas kokonaislukutehtävän ratkaisumalli, jota voidaan soveltaa vain jos tehtävä on mahdollista esittää toisistaan riippumattomia alitehtävien yhdistelmänä. Ns. Bellmanin yhtälö määrää välttämättömät ehdot kohdetehtävlle, johon voidaan soveltaa dynaamisen ohjelmoinnin periaatetta.

Lineaarinen optimointiMuokkaa

Lineaarinen optimointi tarkoittaa optimointia kun kohdefunktio ja käypää aluetta rajoittavat ehdot ovat lineaarisia. Lineaarista optimointia kutsutaan myös lineaariseksi ohjelmoinniksi. Yleinen lineaarinen tehtävä voidaan esittää muodossa

 
 
 
 

Tässä   ja   merkeillä tarkoitetaan, että jokaista alkiota verrataan riveittäin toisiinsa. Voidaan osoittaa, että kaikki lineaariset optimointitehtävät voidaan esittään ali- ja ylijäämämuuttujien (engl. slack variable) avulla ns. standardimuodossa

 
 
 

missä  ,   ja  . Ts. aina kun tarkastellan yleistä lineaarista tehtävää, voidaan tarkastella pelkästään standarditehtävää menettämättä tuloksien yleispätevyyttä. Huomaa, että myös vektorit   ja   muuttuvat tehtävätyypin muunnoksessa.

TuloksiaMuokkaa

  • Lineaarisen optimointitehtävän käypä alue on n dimensioisen avaruuden monitahokas (engl. polyhedra).
  • Oletetaan, että tehtävänä on minimoida lineaarista kohdefunktiota epätyhjän monitahokkaan sisällä (ts. kyseessä on lineaarinen optimointitehtävä). Tällöin kohdefunktion optimaalinen arvo on   tai on olemassa optimaalinen ratkaisu  . Huomaa, että optimipisteen   yksikäsitteisyyttä ei ole taattu.
  • Jos lineaarisen optimointitehtävän ratkaisu   on äärellinen, tulee yksi ratkaisu löytymään jostain rajoittavan monitahokkaan S kulmasta. Jos kaksi pistettä   ja   ovat optimaalisia ovat myös pisteet muotoa   optimaalisia. Tämän voi tulkita siten, että kahden kulman välillä oleva särmä on optimaalinen, jos kummatkin kulmat ovat optimaalisia. Todistus: Oletetaan, että annetut pisteet minimoivat kohdefunktion f. Voidaan osoittaa, että monitahokas on konveksi joukko, eli kaikilla   pätee  . Koska annetut pisteet ovat optimaalisia, eli niitä pienempiä arvoja funktio ei voi monitahokkaassa saada, pätee . Toisaalta  , mikä voidaan kirjoittaa  . Helposti voidaan huomata, että tapaus voidaan yleistää koskemaan n:ää pistettä, eli jos pisteet   ovat optimaalisia, niin ovat myös niiden ns. konveksikombinaatiot   myös optimaalisia. Todistus on analoginen kahden pisteen tapauksen kanssa.

EsimerkkejäMuokkaa

Lineaarinen optimointitehtävä

 
 
 

voidaan esittää standardimuodossa muunnoksella  , missä   ja  . Kun lisätään vielä ali- ja ylijäämämuuttujat   ja   saadaan tehtäväksi

 
 
 
 

Jos siis valitaan  ,  ,   ja

 

on tehtävä saatu standardimuotoon. Huomaa, että optimipisteessä vain toinen muuttujista   ja   on nollasta poikkeava, joten ylimääräiset muuttujat eivät vaikuta rajoitusehtoihin.

Epälineaarinen optimointiMuokkaa

Epälineaarisella optimoinnilla tarkoitetaan sellaisen optimointitehtävän ratkaisemista, joka on muotoa

 
 
 
 

missä  , f on mielivaltainen kohdefunktio, funktiot   epäyhtälörajoitukset,   yhtälörajoitukset ja X käypä joukko. Vaikka yhtälörajoitukset voidaan esittää epäyhtälörajoitusten avulla (  ja  ), tämä ei käytännössä aina ole mahdollista, sillä jotkin ratkaisumenetelmät olettavat tehtävän rajoitusten olevan optimipisteessä lineaarisesti riippumattomat.

Epälineaarinen ja lineaarinen tehtävä (LP) eroavat toisistaan seuraavasti. Epälineaarisessa tehtävässä käypä alue voi olla mielivaltainen, kun LP-tehtävän käypä joukko on aina monitahokas. Toiseksi LP-tehtävän lineaarinen kohdefunktio on aina myös konveksi, joten tehtävälle löydetään globaali optimi hyödyntämällä konveksin optimoinnin tuloksia. Epälineaarinen tehtävä on lineaarista tehtävää yleisempi, joten kaikki tulokset, jotka on johdettu epälineaariselle tehtävälle, pätevät myös lineaariselle tehtävälle.

Välttämättömät optimaalisuusehdotMuokkaa

Kun jokin optimointitehtävän käyvän alueen piste on optimaalinen, se täyttää välttämättömät optimaalisuusehdot. Lause ei päde toisin päin, eli tehtävälle voi olla mahdollista löytää optimaalisuusehdot täyttävä piste, joka ei välttämättä ole optimipiste.

Rajoittamattoman tehtävän välttämätön optimaalisuusehto optimointitehtävän ratkaisupisteelle   on

 

Yleiselle rajoitetulle tehtävälle voidaan johtaa Karush-Kuhn-Tuckerin välttämättömät optimaalisuusehdot (välttämättömät KKT-ehdot), ja hieman yleisemmät Fritz Johnin välttämättömät optimaalisuusehdot (välttämättömät FJ-ehdot).

Fritz Johnin välttämättömät optimaalisuusehdotMuokkaa

Olkoon käypä joukko epätyhjä ja avoin sekä   jonkin epälineaarisen tehtävän lokaali optimi. Tällöin on olemassa vektori   siten, että

 
 
 

missä   ja   ovat m ja l vektoreita joiden i:nnet komponintit ovat   ja  . Luonnollisesti on oletettava, että gradientit ovat olemassa. FJ-ehdot saadaan toteutumaan mielivaltaiselle käyvälle pisteelle lisäämällä sopivia merkityksettömiä rajoituksia.

Karush-Kuhn-Tuckerin välttämättömät optimaalisuusehdotMuokkaa

Fritz Johnin ehdot redusoituvat tietyin ehdoin KKT-ehdoiksi. KKT-ehdot ovat FJ-ehtoja hyödyllisempiä, sillä ne karsivat pois turhia kandidaattipisteitä. Käytännössä näiden ehtojen on taattava, että FJ-ehtojen   on nollasta poikkeava, jolloin jakamalla sillä puolittain saadaan ns. KKT-ehdot.

Olkoon   jonkin epälineaarisen tehtävän lokaali optimi, jolla on sopivat rajoitusehdot. Tällöin on olemassa vektori   siten, että

 
 
 

missä   ja   ovat m ja l vektoreita joiden i:nnet komponentit ovat   ja  .

EsimerkkejäMuokkaa

  • Funktio  , kun  , saavuttaa miniminsä pisteessä  .
  • Funktiolla  , kun  , ei ole minimipistettä, sillä jokaista pistettä   kohden on aina olemassa pienempi piste  .
  • Funktiolla  on kaksi nollakohtaa   ja  . Se on aina ei-negatiivinen, joten funktion minimiarvo on nolla. Huomaa, että kaksi eri  :n arvoa antavat saman optimin, eli optimi ei ole yksikäsitteinen. Jos optimointi tehdään rajoitetussa joukossa  , niin optimi on yksikäsitteinen.

KirjallisuuttaMuokkaa