Osittaisdifferentiaaliyhtälö

Osittaisdifferentiaaliyhtälö (lyh. ODY) on differentiaaliyhtälö, joka kuvaa funktion riippuvuutta useista keskenään riippumattomista muuttujista. Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä käytetään monien matemaattisten ja fysikaalisten ongelmien, kuten lämmön johtumisen tai aaltoliikkeen etenemisen, muotoiluun ja ratkaisuun. Keskenään täysin erilaisilla fysikaalisilla ongelmilla voi olla samanlainen matemaattinen muotoilu.

Esimerkkejä yksinkertaisista osittaisdifferentiaaliyhtälöistä:

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,$

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,$

Termejä ja merkintöjä

Osittaisderivaattamerkintöjä lyhennetään usein seuraavasti:

$u_{x}={\partial u \over \partial x}$.

Aikaderivaatta lyhennetään joskus pistemerkinnän avulla, mutta tavallisemmin alaindeksillä t:

${\dot {u}}=u_{t}={\partial u \over \partial t}$.

Jos yhtälössä esiintyy ainoastaan ensimmäisiä derivaattoja, sanotaan yhtälön olevan ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö. Monissa käytännön sovelluksissa tarvitaan kuitenkin toisia derivaattoja

$u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

ja vastaavasti

$u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}={\partial \over \partial y}\left({\partial u \over \partial x}\right)$.

Usein käytetään myös niin kutsuttua nabla-operaattoria, mikä karteesisissa koordinaateissa kirjoitetaan seuraavasti:

$\nabla =(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})$ missä $\partial _{x}={\partial \over \partial x}$.

Yleisesti yhtälön kertaluku määräytyy korkeimman derivaatan kertaluvusta, aivan kuten tavallistenkin differentiaaliyhtälöiden tapauksessa.

Jos yhtälö on ensimmäistä astetta riippuvan muuttujan ja sen derivaattojen suhteen ODY on lineaarinen. Jos lineaarisuus rajoittuu korkeimman kertaluvun derivaattoihin, yhtälö on kvasilineaarinen. Jos yhtälö on kvasilineaarinen muuten, mutta korkeimman kertaluvun derivaattojen kertoimet riippuvat ainoastaan riippumattomista muuttujista yhtälön sanotaan olevan melkein lineaarinen.

Ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkeavuus on vielä tavallisia differentiaaliyhtälöitäkin heikompi, eikä analyyttistä ratkaisua suljetussa muodossa ole olemassa joitakin poikkeuksia lukuun ottamatta. Koska ratkaisussa saattaa olla useita muuttujia, tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta poiketen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisuun voi jäädä vakioiden sijasta kokonaisia tuntemattomia funktioita. Esimerkiksi erittäin yksinkertaisen yhtälön

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa funktio

$u(x,y)=f(y)\,$.

Siksi yksilöllisen ratkaisun löytämiseksi on tunnettava etsittävän funktion käyttäytymistä laajemmin. Tyypillinen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on reuna-arvotehtävä, sillä voidaan osoittaa, että pisteen $(x,y)$ kautta tason alueessa kulkee tarkalleen yksi ratkaisukäyrä, joka toteuttaa ehdon $u=u(x,C)$ (C on vakio) silloin, jos alueessa on voimassa Lipschitzin ehto

$|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leq L|y_{1}-y_{2}|$.

Yleisin ratkeavuutta koskeva tulos on Cauchyn–Kovalevskajan lause, jonka mukaan yhtälöä koskevan Cauchyn tehtävän analyyttinen ratkaisu on yksikäsitteisenä olemassa, jos ODY on analyyttinen ratkaisun ja sen kaikkien derivaattojen suhteen. On kuitenkin löydettävissä jo melko yksinkertaisiakin osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, joilla tämä ehto ei toteudu. Myös siinä tapauksessa, että ratkaisu on olemassa ja se on yksikäsitteinen, sillä saattaa olla ominaisuuksia, jotka tekevät siitä epäkäytännöllisen.

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen tapahtuu käytännössä lähes aina tietokonemallien avulla.

Tunnettuja osittaisdifferentiaaliyhtälöitä

Toisen kertaluvun ODYja

Tyypillisiä fysikaalisten systeemien kuvauksia.

• Elliptiset yhtälöt
  • Laplacen yhtälö
  • Poissonin yhtälö
• Hyperboliset yhtälöt
  • Aaltoyhtälö
• Paraboliset yhtälöt
  • Lämpöyhtälö
  • Schrödingerin yhtälö

Korkeamman kertaluvun ODYja

Näitä tulee vastaan tavallisesti solitonien yhteydessä.

• Dimin yhtälö (3.kl)
• Korteweg-de Vries -yhtälö (4.kl)

Katso myös

• Mallintaminen
• Differentiaalilaskenta
• Derivaatta

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• Partial differential equations mathworld.wolfram.com:n osittaisdifferentiaaliyhtälösivut (englanniksi)