Lämpöyhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa lämmön johtumista aineessa. Yksinkertaisimmillaan yhtälö tiivistyy muotoon

,

joka on tyypillinen esimerkki parabolisesta osittaisdifferentiaaliyhtälöstä.

Lämpöyhtälön johtaminen

muokkaa

Tarkastellaan avointa avaruuden osajoukkoa  , ja olkoon   lämpötila,   aineen sisäenergia (J/kg) ja   lämpövuo (J/(m^2 s)). Energia tarkasteltavassa alueessa voidaan kirjoittaa

 ,

missä   on aineen tiheys. Toisaalta energiaa poistuu alueesta nopeudella

 ,

missä   on alueen yksikköulkonormaali. Gaussin divergenssilauseen avulla jälkimmäinen lauseke voidaan kirjoittaa muotoon

 ,

ja energian säilymisestä saadaan tällöin yhtälö

 .

Koska nyt derivointi voidaan viedä integraalin sisään ja yhtälö pätee mielivaltaiselle alueelle, saadaan yhtälö

 .

Toistaiseksi tarkasteluissa ei ole käytetty fysiikkaa lainkaan. Fourierin laki kertoo kuitenkin lämpövuon ja lämpötilan välillä olevan yhteyden

 ,

joka kertoo lämmön virtaavan siihen suuntaan, missä lämpötila laskee nopeimmin. Lisäksi aineen sisäenergian ja lämpötilan välillä on yhteys

 ,

missä   on aineen ominaislämpökapasiteetti (J/(kgK)). Sijoittamalla nämä aiemmin saatuun yhtälöön saadaan nyt

 .

Jos Fourierin lain kerroin   (lämmönjohtumisvakio) ei riipu paikasta, saadaan

 ,

missä   on Laplacen operaattori.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.