Lämpöyhtälö
Lämpöyhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa lämmön johtumista aineessa. Yksinkertaisimmillaan yhtälö tiivistyy muotoon
- ,
joka on tyypillinen esimerkki parabolisesta osittaisdifferentiaaliyhtälöstä.
Lämpöyhtälön johtaminen
muokkaaTarkastellaan avointa avaruuden osajoukkoa , ja olkoon lämpötila, aineen sisäenergia (J/kg) ja lämpövuo (J/(m^2 s)). Energia tarkasteltavassa alueessa voidaan kirjoittaa
- ,
missä on aineen tiheys. Toisaalta energiaa poistuu alueesta nopeudella
- ,
missä on alueen yksikköulkonormaali. Gaussin divergenssilauseen avulla jälkimmäinen lauseke voidaan kirjoittaa muotoon
- ,
ja energian säilymisestä saadaan tällöin yhtälö
- .
Koska nyt derivointi voidaan viedä integraalin sisään ja yhtälö pätee mielivaltaiselle alueelle, saadaan yhtälö
- .
Toistaiseksi tarkasteluissa ei ole käytetty fysiikkaa lainkaan. Fourierin laki kertoo kuitenkin lämpövuon ja lämpötilan välillä olevan yhteyden
- ,
joka kertoo lämmön virtaavan siihen suuntaan, missä lämpötila laskee nopeimmin. Lisäksi aineen sisäenergian ja lämpötilan välillä on yhteys
- ,
missä on aineen ominaislämpökapasiteetti (J/(kgK)). Sijoittamalla nämä aiemmin saatuun yhtälöön saadaan nyt
- .
Jos Fourierin lain kerroin (lämmönjohtumisvakio) ei riipu paikasta, saadaan
- ,
missä on Laplacen operaattori.