Nabla

Nabla on differentiaalilaskennassa käytetty, kärjellään seisovan tasakylkisen kolmion muotoinen symboli $\nabla$ (∇). Sillä voidaan merkitä skalaarifunktion (esim. lämpötila) ja vektorifunktion (esim. sähkökenttä, jolla on suunta) gradienttia sekä vektorifunktion divergenssiä tai roottoria.

∇

Nabla-symboli

Harppu, josta nabla on saanut nimensä

Nimi nabla johtuu erään harppua muistuttavan soittimen kreikankielisestä nimestä, joka on lainattu hepreasta. Symboli muistuttaa muodoltaan tätä soitinta.

Merkitykset

Kolmiulotteisessa karteesisessa koordinaatiossa $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$, jonka koordinaatit ovat (x, y, z), nabla määritellään osittaisderivaattojen avulla seuraavasti:

$\nabla ={\partial \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial \over \partial z}\mathbf {k} ,$

missä $\scriptstyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ ovat x-, y- ja z-akselien suuntaiset yksikkövektorit. Määritelmä voidaan kuitenkin yleistää kuinka moniulotteiseen euklidiseen avaruuteen tahansa.

Vaikka $\scriptstyle {\partial \over \partial x}$, $\scriptstyle {\partial \over \partial y}$ ja $\scriptstyle {\partial \over \partial z}$ ovat funktion osittaisderivaattoja tarkoittavia operaattoreja, niitä voidaan määritelmissä muodollisesti käsitellä ikään kuin ne olisivat kertoimina esiintyviä lukuja ja samoin nablaa ikään kuin se olisi vektori.

Gradientti

Pääartikkeli: Gradientti

Kun nablasymboli esiintyy avaruudessa $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$ määritellyn funktion edessä, se tarkoittaa funktion gradienttia, joka määritellään seuraavasti:

${\mbox{grad}}\,f=\nabla f={\partial f \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial f \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial f \over \partial z}\mathbf {k}$.

Funktion f gradientti on vektorifunktio, joka osoittaa siihen suuntaan, jossa f kasvaa nopeimmin eli sen derivaatta tähän suuntaan saa maksimiarvonsa, ja sen suuruus on tämän funktion muuttumisnopeus kyseisessä suunnassa. Havainnollisena esimerkkinä voidaan ajatella funktiota f, joka tarkoittaa maaston korkeutta maan päällä pisteessä, jonka koordinaatit ovat (x,y). Tämän funktion gradientti osoittaa tällöin, missä suunnassa mäki on jyrkin ja kuinka suuri on sen kaltevuuskulman tangentti.

Divergenssi

Pääartikkeli: Divergenssi

Vektoriarvoisen funktion eli vektorikentän divergenssi voidaan muodollisesti määritellä nablan ja itse funktion pistetulona. Jos funktio on

${\vec {v}}=v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k}$,

sen divergenssi on:

${\mbox{div}}\,{\vec {v}}=\nabla \cdot {\vec {v}}={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}$.

Divergenssi on siis skalaarifunktio, samoin kuin vektorien pistetulokin on skalaari. Divergenssi ilmoittaa käytännössä, kuinka voimakkaasti vektorifunktio kasvaa tai vähenee vektorin suuntaan mentäessä.

Roottori

Pääartikkeli: Roottori (matematiikka)

Avaruudessa $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$ määritellyn vektoriarvoisen funktion roottori voidaan muodollisesti määritellä nablan ja funktion ristitulona. Funktion

${\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k}$

roottori on siis:

${\mbox{curl}}\;{\vec {v}}=\nabla \times {\vec {v}}=\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right)\mathbf {i} +\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right)\mathbf {j} +\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right)\mathbf {k}$.

Funktion roottori on siis toinen vektoriarvoinen funktio. Se osoittaa, mihin suuntaan ja kuinka voimakkaasti alkuperäinen funktio on pyörteinen.

Määritelmä voidaan esittää lyhemmin kolmirivistä determinanttia muistuttavassa muodossa:

$\nabla \times {\vec {v}}=\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|$

Fysiikassa sekä divergenssi- että roottorioperaattorit esiintyvät muun muassa Maxwellin yhtälöissä.

Laplacen operaattori

Pääartikkeli: Laplacen operaattori

Laplacen operaattori on skalaariarvoinen operaattori, jota voidaan soveltaa sekä skalaari- että vektoriarvoisiin funktioihin. Se määritellään seuraavasti:

$\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}$.

Sekin voidaan esittää myös nablan avulla:

$\Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$.

Laplacen operaattori esiintyy matemaattisessa fysiikassa monissa yhteyksissä kuten Laplacen yhtälössä, yleisessä aaltoyhtälössä ja Schrödingerin yhtälössä.

Laskusääntöjä

Olkoon ${\textstyle f,g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ skalaarifunktioita sekä ${\textstyle {\vec {A}},{\vec {B}}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ vektorikenttiä siten, että jokainen niistä ovat derivoituvia ja niiden osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Tällöin seuraavat nablan laskusäännöt ovat voimassa:

1. $\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f$
2. $\nabla \cdot \left(f{\vec {A}}\right)=(\nabla f)\cdot {\vec {A}}+f\left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)$
3. $\nabla \times \left(f{\vec {A}}\right)=(\nabla f)\times {\vec {A}}+f\left(\nabla \times {\vec {A}}\right)$
4. $\nabla \cdot \left({\vec {A}}\times {\vec {B}}\right)=\left(\nabla \times {\vec {A}}\right)\cdot {\vec {B}}-{\vec {A}}\cdot \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)$
5. $\nabla \times \left({\vec {A}}\times {\vec {B}}\right)=\left(\nabla \cdot {\vec {B}}\right){\vec {A}}+\left({\vec {B}}\cdot \nabla \right){\vec {A}}-\left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right){\vec {B}}-\left({\vec {A}}\cdot \nabla \right){\vec {B}}$
6. $\nabla \left({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}\right)={\vec {A}}\times \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)+{\vec {B}}\times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)+\left({\vec {A}}\cdot \nabla \right){\vec {B}}+\left({\vec {B}}\cdot \nabla \right){\vec {A}}$

Lisäksi, mikäli ${\textstyle f}$:n ja ${\textstyle {\vec {A}}}$:n toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia, pätevät myös seuraavat säännöt:

7. $\nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)=0$ (Roottorin divergenssi on aina nolla.)
8. $\nabla \times \left(\nabla f\right)={\vec {0}}$ (Gradientin roottori on aina nollavektori.)
9. $\nabla \times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)=\nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)-\nabla ^{2}{\vec {A}}$

Tietotekniikka

Unicodessa nablan koodi­arvo on U+2207. HTML:ssä se voidaan merkitä muodossa ∇ ja matemaattisten kaavojen kirjoittamiseen käytetyssä LaTeX-merkintäjärjestelmässä \nabla.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).