Schrödingerin yhtälö

fysikaalinen malli, joka kuvaa hiukkasen liikettä todennäköisyytenä tulkittavana aaltona

Schrödingerin yhtälö on kvanttimekaniikassa käytetty aaltoyhtälö, joka osoittaa, millainen aaltofunktio hiukkaseen liittyy, kun sillä on tietyn suuruinen energia ja se on tietynlaisessa potentiaalissa. Schrödingerin yhtälöllä on olennaisen tärkeä osa kvanttimekaniikan teoriassa, jossa se vastaa merkitykseltään Newtonin toista lakia klassisessa mekaniikassa, sillä molemmat kuvaavat liikettä. Yhtälön kehitti itävaltalainen fyysikko Erwin Schrödinger vuonna 1926.[1]

Yleinen Schrödingerin yhtälö

muokkaa

Yleinen Schrödingerin yhtälö voidaan esittää muodossa

 ,

missä   on paikasta   ja ajasta   riippuva aaltofunktio,   redusoitu Planckin vakio,   hiukkasen massa,   sen paikasta riippuva potentiaalienergia ja   imaginaariyksikkö.

Hamiltonin operaattorin

 

avulla Schrödingerin yhtälö voidaan kirjoittaa lyhemmin muotoon[2]

 .

Bra-ket-esitys

muokkaa

Kvanttimekaniikan matemaattisessa formuloinnissa jokainen systeemi esitetään kompleksisessa Hilbertin avaruudessa siten, että jokaista systeemin hetkellistä tilaa vastaa yksikkövektori ko. avaruudessa. Tämä tilavektori esittää todennäköisyyksiä kaikille mahdollisille systeemiin liitettyjen mittausten tuloksille. Systeemin tilan muuttuessa ajan kuluessa tilavektori muuttuu vastaavasti ajan funktiona. Tämä ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö antaa tiedon tilavektorin muutostaajuuden suuruudesta.

Diracin kehittelemää bra-ket-merkintätapaa käyttäen hetkellinen tilavektori ajanhetkellä   merkitään ket-vektorilla  , tällöin Schrödingerin yhtälö on muotoa

 .

Schrödingerin yhtälön muuttujat

muokkaa

Hamiltonin operaattori kuvaa systeemin kokonaisenergiaa. Kuten voima Newtonin toisessa laissa, Schrödingerin yhtälö ei anna sen tarkkaa muotoa, vaan se pitää muodostaa erikseen systeemin fysikaalisten ominaisuuksien perusteella.

Aaltofunktion   amplitudia sanotaan todennäköisyysamplitudiksi, koska sen neliö osoittaa todennäköisyyden sille, että hiukkanen on tietyllä alueella.

Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö

muokkaa

Monissa tarkasteluissa oletetaan stationaarinen tila, mikä tarkoittaa, että systeemi on energian (Hamiltonin operaattorin) ominaistilassa. Koska Hamiltonin operaattori määrää systeemin aikakehityksen, ei stationaarisessa tilassa olevan hiukkasen aaltofunktio riipu ajasta. Myös kaikkien mitattavien suureiden odotusarvot ovat ajasta riippumattomia stationaarisessa tilassa.

Kolmiulotteisessa potentiaalissa hiukkasen ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö on muotoa[3]

 ,

missä   on gradientin divergenssi ja   on systeemin potentiaalienergiaa vastaava operaattori. Yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa

 .

Taustaa

muokkaa

Schrödingerin yhtälöä ei voida johtaa klassisen fysiikan avulla, vaan se perustuu kokonaan kvanttiteoriaan. Kvanttiteoria sai alkunsa Max Planckin vuonna 1900 esittämästä ja Albert Einsteinin vuonna 1905 edelleen kehittämästä teoriasta, jonka mukaan sähkömagneettiset aallot syntyvät aina tietyn kokoisina "paketteina", kvantteina eli fotoneina, ja yhden fotonin energia riippuu aallon taajuudesta yhtälön

 

mukaisesti. Täten säteilyllä on sekä aalto- että hiukkas­luonne. Vuonna 1924 Louis de Broglie esitti aine­aalto­hypoteesinsa, jonka mukaan myös ainehiukkasilla, esimerkiksi elektroneilla on aalto-ominaisuuksia. Niillekin pätee yllä mainittu yhtälö, ja lisäksi niiden aallonpituus riippuu liikemäärästä (p) yhtälön

 

mukaisesti.

Jo klassisessa fysiikassa aaltoja voidaan kuvata yleisellä aaltoyhtälöllä

 ,

missä   on aallon muotoa esittävä aaltofunktio ja v aallon vaihenopeus eli sen taajuuden ja aallonpituuden tulo.

Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö saadaan tästä de Broglien kaavojen avulla seuraavasti. Oletetaan, että hiukkasen massa on m, nopeus vh ja kokonaisenergia E. Tällöin sen liikemäärä on p = mvh, jolloin siihen liittyvän aallon taajuus on edellä sanotun mukaan f = E/h, aallonpituus   ja vaihenopeus näiden tulo v = E / p. Hiukkasen liike-energia saadaan vähentämällä sen kokonaisenergiasta sen potentiaalienergia Ek = E – U. Koska hiukkasen liikemäärän ja liike-energian välillä vallitsee yhteys

 ,

saadaan sen liikemäärälle myös lauseke

 ,

ja koska vaihenopeus on v = E / p = hf / p, saadaan sille lauseke

 .

Aaltofunktio   on tyypillisesti muotoa

 ,

jolloin sen toinen derivaatta ajan suhteen on

 .

Kun tämä sijoitetaan edellä esitettyyn yleiseen aaltoyhtälöön, saadaan

 ,

ja kun tähän edelleen sijoitetaan edellä saatu vaihenopeuden lauseke, saadaan

 .

Koska vakiolle h / 2 π käytetään vakiintuneesti merkintää  , sen avulla sekä supistamalla tekijä f2 pois voidaan edellä saatu yhtälö muuntaa muotoon

 

ja edelleen yleisemmin käytettyyn muotoon

 .

Klassisen fysiikan tuntemissa aalloissa funktio   vastaa sitä suuretta, jonka vaihteluista aaltoliike muodostuu, ja joka voi olla esimerkiksi pinnan korkeus vesiaalloissa, paine ääniaalloissa tai sähkökentän voimakkuus sähkömagneettisissa aalloissa. Alkujaan ei ollut selvää, mikä on tämän suureen merkitys hiukkasiin liittyvissä aalloissa, mutta myöhemmin kehitetyn todennäköisyys­tulkinnan mukaan tämän aaltofunktion amplitudin neliö osoittaa todennäköisyyden sille, että hiukkanen löytyy kustakin paikasta.

Esimerkkejä

muokkaa

Vapaa hiukkanen

muokkaa

Schrödingerin yhtälön yksinkertaisin tapaus on vapaa hiukkanen, jonka potentiaalifunktio on vakio ja jonka aaltofunktio lisäksi riippuu vain yhdestä paikkakoordinaatista, esimerkiksi  :stä. Tällöin yhtälö yksinkertaistuu muotoon

 ,

Tämän differentiaaliyhtälön toteuttavat funktiot ovat:

 

Nämä funktiot kuvaavat sellaista sinimuotoista aaltoa, jonka aaltovektori on

 

ja aallonpituus

 

siis yhtäpitävästi de Broglien teorian kanssa.

Potentiaalilaatikko

muokkaa

Potentiaalifunktio on määritelty nollaksi tietyllä välillä ja äärettömäksi tämän välin ulkopuolella, seinämät ovat ikään kuin pystysuoria. Klassisesti hiukkanen liikkuu kahden jäykän seinämän välissä.

Yksiulotteinen laatikko
muokkaa

Kun hiukkanen, jonka massa on  , liikkuu yksidimensionaalisen potentiaalin   alaisena, niin hiukkasen tilafunktio   toteuttaa yksidimensioisen Schrödingerin yhtälön:

 

Tämä differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista eksaktisti vain muutamassa erikoistapauksessa. Klassillinen esimerkki on hiukkanen laatikossa (engl. particle in a box). Energian ominaisarvot muodostavat spektrin:

    ,        ,        ,         jne ...

missä   on perustilaenergia, energia, jota pienempää ei ole. Nollaenergia ei ole sallittu, koska kvanttihiukkanen ei ole levossa.

Kolmiulotteinen laatikko
muokkaa

Vastaava kolmidimensioinen yhtälö on muotoa:

 

Koska kyseessä on kolmiulotteinen tapaus, gradientti on  .

Tämä differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista eksaktisti kolmidimensioisessa laatikossa, jossa hiukkasen liike on rajattu tietylle välille kaikkien koordinaattiakselien suunnissa. Jos välit ovat keskenään yhtäsuuria eli laatikko on kuutionmuotoinen, niin tällöin saadaan esimerkki degeneroituneista tiloista. Energian ominaisarvojen spektri on tällöin:

    ,        ,        ,        ,         jne ...

Perustilaenergia on   ja tämä tila on degeneroitumaton, mutta kolmea seuraavaa ominaisarvoa vastaavien tilojen degeneraatioaste on kolme, mikä tarkoittaa, että yhtä ominaisarvoa kohti on olemassa kolme kokonaisenergialtaan yhtäsuurta mutta eri tavalla jakautunutta tilaa. Ominaisarvoa   vastaava tila on degeneroitumaton ja ominaisarvoa   vastaavan tilan degeneraatioaste on kuusi.

Vetyatomi

muokkaa

Schrödingerin yhtälön tärkeimmät sovellukset liittyvät atomin rakenteeseen. Yksinkertaisin atomi on vetyatomi, jossa on vain yksi elektroni. Elektroni on ytimen sähköisen veto­voiman aikaan­saamassa potentiaali­kuopassa. Sen potentiaali U ytimen ympärillä etäisyydellä r on jo klassisen sähkö­opin mukaan

 

missä e on alkeisvaraus ja   sähkövakio.

Tämä potentiaalin lauseke pätee myös kvantti­fysiikassa. Näin ollen vety­atomin ainoan elektronin Schrödingerin yhtälö saadaan muotoon[4][5]

 

missä

 

on vety-ytimen eli protonin ja elektronin muodostaman systeemin redusoitu massa. Miinusmerkki potentiaalin lausekkeessa johtuu siitä, että protonilla ja elektronilla on vastakkais­merkkiset sähkö­varaukset. Redusoitua massaa käytetään tässä elektronin massan sijasta, koska protoni ja elektronin muodostaman systeemin voidaan olettaa pyörivän systeemin yhteisen painopisteen ympäri (tosin näiden hiukkasten suuren massa­eron vuoksi tämä redusoitu massa ei sanottavasti poikkea elektronin massasta).

Vetyatomin aalto­funktio on elektronin sijainnin eli koordinaattien funktio, ja itse asiassa pallo­koordinaatteja käyttämällä se voidaan jakaa kolmeksi funktioksi, joista kukin riippuu vain yhdestä koordinaatista:[6]

 

missä R on radiaalinen funktio ja   pallo­harmonisia funktioita, joiden aste on ja kertaluku m. Yhtälön ratkaisut ovat:[7]

 

missä:

 

Koska kvanttilukujen on oltava kokonais­lukuja, elektroni voi olla ytimen ympärillä vain tietyillä orbitaaleilla, jotka vastaavat kvantti­lukujen yhdistelmiä. Osoittautui, että pää­kvantti­luvun mukaan määräytyvien orbitaalien energiatasot ovat samoja, joihin jo aikaisemmin oli päädytty Bohrin atomimallin perusteella.

Ominaisarvoyhtälö

muokkaa

Jokaista ajasta riippumatonta Hamiltonin operaattoria   kohti on olemassa kvanttitilojen   eli energian ominaistilojen joukko sekä reaalilukujen   eli energian ominaisarvojen joukko, jotka toteuttavat ominaisarvoyhtälön:

 

Ominaistilan kokonaisenergia on definiitti ja sen arvo on Hamiltonin operaattorin ominaisarvo. Jokaista energian ominaisarvoa kohti voi olla olemassa (ei kuitenkaan välttämättä) useampia ns. degeneroituneita tiloja. Edellä esitettyä ominasarvoyhtälöä sanotaan ajasta riippumattomaksi Schrödingerin yhtälöksi. Hamiltonin operaattorin kaltaisilla itseadjungoituvilla operaattoreilla on ominaisuus, että niiden ominaisarvot ovat kaikissa tapauksissa reaalilukuja, mitä voidaan odottaakin, koska energia on fysikaalisesti havaittavissa oleva suure eli observaabeli.

Sijoittamalla ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö täydelliseen Schrödingerin yhtälöön, saadaan:

 

Tämä yhtälö on helposti ratkaistavissa. Havaitaan, että energian ominaistiloja vastaavat tilavektorit vain kiertyvät kompleksitasossa norminsa säilyttäen

 

Energian ominaistilat ovat käyttökelpoisia, koska niiden aikariippuvuus on yksinkertainen ja samoin ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö on käyttökelpoinen. Tarkasteluissa valitaan hetkellinen ominaistilojen joukko, jonka tilavektorit   muodostavat tila-avaruuden kannan. Tällöin mikä tahansa tilavektori   voidaan esittää energian ominaistilojen lineeaariyhdistelynä:

 

Viimeisenä esitetty muoto edellyttää, että   on yksikkovektori. Sijoittamalla ensimmäinen muoto Schrödingerin yhtälöön muistaen, että kantavektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, saadaan:

 

Tästä seuraa, että jos funktion   kehitelmä valitussa kannassa tunnetaan hetkellä  , niin funktion arvo millä tahansa myöhemmällä ajanhetkellä lasketaan yksinkertaisesti lausekkeesta

 

Schrödingerin aaltoyhtälö

muokkaa

Kvanttisysteemin tila-avaruus voidaan virittää paikkavektorikannassa. Tällöin Schrödingerin yhtälö muotoillaan kätevimmin aaltofunktion osittaisdifferentiaaliyhtälöksi. Aaltofunktio on paikan ja ajan kompleksiarvoinen funktio. Yhtälön muotoa sanotaan Schrödingerin aaltoyhtälöksi.

Paikkavektorikannan alkioita sanotaan paikan ominaistiloiksi.

Lähteet

muokkaa
  1. Erwin Schrödinger – The Nobel Prize in Physics 1933 (html) nobelprize.org. (englanniksi)
  2. Griffths, David J.: ”4.1”, Introduction to Quantum Mechanics, 2. painos, s. 131. Pearson, 2005. ISBN 0-13-191175-9. (englanniksi)
  3. Phillips, A. C.: Introduction to Quantum Mechanics, s. 64. Wiley, 2003. ISBN 0-470-85323-9. (englanniksi)
  4. Atkins, P. W.: Quanta: A handbook of concepts. Oxford University Press, 1974. ISBN 0-19-855493-1.
  5. Atkins, P. W.: Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to Quantum Chemistry (Volume 1). Oxford University Press, 1977. ISBN 0-19-855129-0.
  6. Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics (6th Edition), Tipler, P. A. & Mosca, G. & Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7
  7. Griffiths, David: Introduction to elementary particles, s. 162. Wiley-VCH, 2008. ISBN 978-3-527-40601-2. Teoksen verkkoversio.

Aiheesta muualla

muokkaa