Hiukkanen laatikossa

Hiukkanen laatikossa eli hiukkanen äärettömän syvässä potentiaali­kuopassa on kvantti­mekaniikassa käytetty malli hiukkaselle, joka voi vapaasti liikkua tietyllä alueella, jota rajoittavat läpi­pääsemättömät esteet. Tätä hypoteettista mallia käytetään varsinkin havainnollistamaan klassisen ja kvantti­fysiikan välislä eroja. Klassisen fysiikan mukaan esimerkiksi laatikkoon pudotettu pallo voi liikkua laatikon sisällä millä nopeudella tahansa, eikä laatikon sisällä ole sellaisia kohtia, joihin se päätyisi toden­näköisemmin kuin joihinkin toisiin. Jos kuitenkin laatikko on hyvin kapea, vain muutaman nanometrin levyinen, kvantti-ilmiöt tulevat merkitseviksi. Hiukkanen voi tällöin olla vain tietyillä positiivisilla energiatasoilla. Sen liike-energia ei voi myöskään olla nolla, joten se ei voi olla laatikon sisällä levossa. Energia­tasostaan riippuen se on myös tietyissä kohdissa suuremmalla toden­näköisyydellä kuin toisissa, ja on tiettyjä kohtia, solmukohtia, joissa se ei voi olla.

Hiukkanen laatikossa voi vapaasti liikkua läpipääsemättömien esteiden (punaiset) välisellä alueella. Kun esteet ovat hyvin lähellä toisiaan, kvantti-ilmiöt ovat havaittavia. Esimerkiksi hiukkanen löytyy tietyistä kohdista todennäköisemmin kuin toisista ja se voi olla vain tietyillä energiatasoilla.

Hiukkanen laatikossa on yksi niistä varsin harvoista kvanttimekaanisista probleemoista, joiden Schrödingerin yhtälö voidaan ratkaista analyyttisesti ilman approksimaatioita. Tämä merkitsee, että kappaleen havaittavat ominaisuudet kuten energia ja sijainti voidaan määrittää matemaattisesti sen massan ja laatikon leveyden perusteella. Yksin­­kertaisuutensa vuoksi tämän mallin avulla voidaan havainnollistaa kvantti-ilmiöitä ilman erityisen moni­­mutkaista matematiikkaa. Se onkin fysiikan oppi­kirjoissa yksi ensimmäisinä käsitellyistä kvantti­mekanisista probleemoista, ja sitä voidaan käyttää approksimaationa myös moni­mutkaisempiin kvantti­mekaanisiin systeemeihin.

Yksiulotteinen tapaus

Hiukkasen potentiaalienergia on äärettömän suuri sen ollessa laatikon ulkopuolella, kun taas laatikon sisällä potentiaali on vakio, nolla.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa hiukkasen oletetaan olevan yksi­ulotteisessa laatikossa. Tällöin se voi liikkua vain eteen- tai taakse­päin suoraa viivaa pitkin kahden läpi­pääsemättömän esteen välisellä alueella. Nämä seinät voidaan käsittää alueiksi, joissa hiukkasen potentiaali on äärettömän suuri. Sen sijaan laatikon sisällä potentiaali on äärellinen vakio, joka tavallisimmin oletetaan nollaksi. Tämä merkitsee, että laatikon sisällä hiukkaseen ei vaikuta mikään voima ja se voi liikkua laatikon sisällä vapaasti. Sen sijaan hiukkasen törmätessä seiniin siihen kohdistuu äärettömän suuri voima, joka estää sitä poistumasta laatikosta. Tämän mallin mukaan hiukkasen potentiaali on

$V(x)={\begin{cases}0,&0<x<L,\\\infty ,&{\text{muutoin,}}\end{cases}},$

missä $L$ on laatikon leveys ja $x$ hiukkasen sijainti laatikon sisällä.

Aaltofunktiot

Kvanttimekaniikassa hiukkasen käyttäytymistä kuvataan aaltofunktiolla, josta voidaan johtaa myös kaikki sen havaittavat ominaisuudet kuten sijainti, liikemäärä ja energia. Aaltofunktio $\psi (x,t)$ saadaan ratkaisemalla systeemin Schrödingerin yhtälö:

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),$

missä $\hbar$ on redusoitu Planckin vakio, $m$ hiukkasen massa, $\mathrm {i}$ imaginaariyksikkö ja $t$ aika.

Laatikon sisällä hiukkaseen ei vaikuta mikään voima, minkä vuoksi tällä alueella hiukkasen aalto­funktio on muodoltaan saman­kaltainen kuin vapaalla hiukkasella:

$\psi (x,t)=[A\sin(kx)+B\cos(kx)]\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t},\;$

missä $A$ ja $B$ ovat mieli­valtaisia kompleksilukuja. Ajallisten ja paikallisten värähtelyjen taajuutta kuvaavat aaltoluku $k$ ja kulmataajuus $\omega$. Nämä molemmat liittyvät hiukkasen kokonaisenergiaan yhtälön

$E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},$­

mukaisesti, jota kutsutaan vapaan hiukkasen dispersiorelaatioksi.

Yksiulotteisessa laatikossa olevan hiukkasen neljän ensimmäisen energiatilan aaltofunktiot

Hiukkasen aaltofunktion amplitudin neliö kussakin pisteessä osoittaa todennäköisyyden olla kyseisessä kohdassa: $P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$. Tämän aaltofunktion on siis oltava nolla laatikon ulkopuolella. Aaltofunktion on myös oltava jatkuva. Ainoat aalto­funktiot, jotka toteuttavat nämä ehdot, ovat muotoa

$\psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{muutoin,}}\end{cases}}$

missä $n$ on positiivinen kokonaisluku. Aaltoluku voi saada vain tiettyjä arvoja, jotka saadaan yhtälöistä

$k_{n}={\frac {n\pi }{L}},\quad \mathrm {jossa} \quad n=\{1,2,3,4,\ldots \},$

missä $L$ on laatikon leveys. Yksinkertaisimmat tapaukset, joissa $k_{n}=0$ tai $A=0$, jolloin aaltofunktion arvo on nolla kaikkialla, voidaan kuitenkin jättää huomiotta, sillä ne merkitsisivät, ettei hiukkasta ole missään. Samoin voidaan jättää huomiotta tapaukset, joissa $n$ on negatiivinen, sillä tällöin saadut aaltofunktiot ovat muutoin samoja kuin positiivisillakin $n$:n arvoilla, paitsi että aalto­funktion etumerkki on päin­vastainen, millä ei kuitenkaan ole fysikaalista merkitystä.

Vakio $A$ voidaan määrittää normittamalla aalto­funktio siten, että toden­näköisyys sille, että hiukkanen on yli­päänsä jossakin, on 1. Tällöin saadaan:

$\left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}}.$

A voi siis olla mikä tahansa kompleksiluku, jonka itseisarvo on √(2/L). Kaikki tällaiset A:n arvot kuvaavat kuitenkin samaa fysikaalista tilaa, joten yksinkertaisuuden vuoksi voidaan valita A = √(2/L).

Energiatasot

Laatikossa olevan hiukkasen (mustat renkaat) ja vapaan hiukkasen (harmaa viiva) energia riippuu aaltoluvusta samalla tavalla. Hiukkasen laatikossa voi kuitenkin olla vain tietyillä diskreeteillä energiatasoilla.

Kutakin mahdollista aaltolukua vastaavat energiat ovat

$E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}$.

Energia on verrannollinen kvanttiluvun $n$ neliöön, minkä vuoksi korkeammat energiatasot ovat kauempana toisistaan kuin matalammat. Hiukkasen pienin mahdollinen eli nollapiste-energia on tasolla $n=1$, jolloin se on

$E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}.$

Hiukkasella on siis aina positiivinen energia. Tämä tulos eroaa selvästi klassisesta mekaniikasta, jonka mukaan hiukkasen liike-energia voi olla myös nolla, missä tapauksessa se on levossa laatikon pohjalla. Sama tulos seuraa myös Heisenbergin epä­tarkkuus­peri­aatteesta, jonka mukaan hiukkasen paikan ja liikemäärän epä­tarkkuuksien tulo on vähintään

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$

Voidaan osoittaa, että hiukkasen paikan epä­tarkkuus on verrannollinen laatikon leveyteen. Tämän vuoksi sen liikemäärän epä­tarkkuus on kääntäen verrannollinen laatikon leveyteen. Hiukkasen liike-energia on $E=p^{2}/(2m)$, ja niinpä sen pienin mahdollinen liike-energia laatikossa on kääntäen verrannollinen sen massaan ja laatikon leveyteen.

Hiukkasen paikka

Klassisen fysiikan mukaan hiukkanen voi yhtä suurella todennäköisyydellä olla missä tahansa laatikon sisällä. Sen sijaan kvanttimekaniikan mukaan sen todennäköisyys olla tietyssä kohdassa saadaan sen aaltofunktiosta seuraavasti:

$P(x)=|\psi (x)|^{2}.$

Tämä todennäköisyys riippuu hiukkasen energiatasosta ja voidaan ilmaista yhtälöllä

$P_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left({\frac {n\pi x}{L}}\right);&0<x<L\\0;&{\text{muutoin}}.\end{cases}}$

Jos n on suurempi kuin yksi, laatikon sisällä on kohtia, joissa tämä toden­näköisyys on $P(x)=0$. Näitä sanotaan aalto­funktion solmu­kohdiksi, ja niistä hiukkasta ei voi löytää.

Kvanttimekaniikan mukaan hiukkasen keskimääräinen sijainti eli sijainnin odotusarvo on

$\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)x\psi (x)\,\mathrm {d} x.$

Voidaan osoittaa, että tämä keskiarvo on hiukkasen energia­tilasta riippumatta aina $\langle x\rangle =L/2$, eli sitä vastaava kohta on laatikon keski­pisteessä.

Useampiulotteiset laatikot

Kaksiulotteinen aaltofunktio, kun n_x=4 ja n_y=4

Jos hiukkanen on suljettu kaksi­ulotteiseen laatikkoon, se voi liikkua vapaasti alueella, jonka leveys $x$-akselin suunnassa on $L_{x}$ ja $y$-akselin suunnassa $L_{y}$. Samaan tapaan kuin yksi­ulotteisen­kin laatikon tapauksessa voidaan osoittaa, että hiukkasen aalto­funktiot ja mahdolliset energiat ovat

$\psi _{n_{x},n_{y}}={\sqrt {\frac {4}{L_{x}L_{y}}}}\sin \left(k_{n_{x}}x\right)\sin \left(k_{n_{y}}y\right)$,

$E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}}$,

missä kaksiulotteinen aaltovektori on

$\mathbf {k_{n_{x},n_{y}}} =k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}}$.

Kolmiulotteisessa laatikossa ratkaisut ovat

$\psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\sqrt {\frac {8}{L_{x}L_{y}L_{z}}}}\sin \left(k_{n_{x}}x\right)\sin \left(k_{n_{y}}y\right)\sin \left(k_{n_{z}}z\right)$,

$E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}}$,

missä kolmiulotteinen aaltovektori on

$\mathbf {k_{n_{x},n_{y},n_{z}}} =k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}}$.

Jos laatikon leveys kahteen tai useampaan suuntaan on sama (siis jos esimerkiksi $L_{x}=L_{y}$), on olemassa useampia aalto­funktioita, joita vastaa yhtä suuri kokonais­energia. Esimerkiksi aaltofunktiota, jossa $n_{x}=2$ ja $n_{y}=1$, vastaa yhtä suuri energia kuin aaltofunktiota, jossa $n_{x}=1$ ja $n_{y}=2$. Tällaisia energiatasoja sanotaan degeneroituneiksi, ja tapausta, jossa yhtä suurta energiaa vastaavia aaltofunktioita on kaksi, kahdesti degeneroituneeksi. Degeneraatio aiheutuu systeemin symmetriasta. Kun laatikon leveys kahdessa kohtisuorassa suunnassa on sama, systeemi on symmetrinen 90 asteen rotaation suhteen.

Sovelluksia

Matemaattisen yksinkertaisuutensa vuoksi hiukkasta laatikossa voidaan käyttää likiarvona monimutkaisemmillekin systeemeille, esimerkiksi sellaisille, joissa elektroni tai muu varauksellinen hiukkanen on alueella, jossa sen sähköinen potentiaali on paljon alempi kuin tämän alueen ulkopuolella. Tällaiset systeemit ovat erityisen tärkeitä optoelektroniikassa, ja niitä käytetään muun muassa eräissä lasereissa ja infrapunasäteilyn mittaus­laitteissa.

Lähteet

• B. H. Bransden, C. J. Joachain: Quantum mechanics, 2. painos. Pearson Education, Essex, 2000. ISBN 0-582-35691-1.
• John H. Davies: The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction, 6. painos. Cambridge University Press, 2006. ISBN 0-521-48491-X.
• David J. Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-111892-7.

Aiheesta muualla

• Scienceworld (Infinite Potential Well)
• 1-D quantum mechanics java applet simuloi hiukkasta laatikossa samoin kuin muita yksiulotteisia tapauksia.
• 2-D particle in a box applet