Imaginaariyksikkö
Matematiikassa imaginaariyksikkö mahdollistaa reaalilukujen laajentamisen kompleksilukujen joukkoon. Sen täsmällinen määritelmä riippuu tavasta, jolla laajennus tehdään. Imaginaariyksikköä merkitään , missä siis .[1] Toisinaan imaginaariyksiköstä käytetään merkintää j ja ι.
Perussyy tähän laajennukseen on, että kaikilla polynomiyhtälöillä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Erityisesti yhtälö on tällainen. Ajattelemalla, että kyseisellä yhtälöllä olisikin ratkaisuna imaginaariyksikkö i ja määrittelemällä i:n laskutoimitukset sopivasti, saadaankin jokaiselle reaalikertoimiselle polynomiyhtälölle f(x)=0 ratkaisu. (Katso algebrallinen sulkeuma ja algebran peruslause).
Imaginaariyksikkö on myös osa Eulerin lausetta funktioteoriassa.
Määritelmä
muokkaaMääritelmän mukaan i on eräs toisen asteen yhtälön
ratkaisuista, jotka ovat
- .
Reaalilukujen laskusäännöt voidaan laajentaa imaginaarisille ja kompleksisille luvuille ajattelemalla lukua i muuttujana, kertomalla lukuja kuten polynomeja ja ottamalla huomioon, että i2=−1. Korkeammista eksponenteista imaginaariyksikön eksponentti voidaan palauttaa välille 0,...,3 kaavan in=-in-2 avulla.
Imaginaariyksikön käänteisluku on sama kuin sen vastaluku, koska
- .
Lähteet
muokkaa- ↑ Larson, Ron & Hostetler, Robert & Edwards, Bruce: College Algebra: A Graphing Approach, s. 187. Cengage Learning, 2007. ISBN 9780618851881. (englanniksi)
Kirjallisuutta
muokkaa- Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-9, ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook).
- Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).
- Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 618–653. ("Luku 21, Eulerin aika") Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.