Avaa päävalikko
Funktion y = 1/x kuvaaja arvoille, jolloin x ei ole 0. Kuvaaja on hyperbeli. Sen jokaisen pisteen (x,y) koordinaatit x ja y ovat toistensa käänteislukuja.

Käänteisluku liittyy käsitteenä matematiikassa kahden luvun kertolaskuun, jonka tulokseksi saadaan yksi:

.

Tällöin sanotaan, että molemmat luvut ja ovat toistensa käänteislukuja. Käänteislukumerkintänä käytetään usein negatiivista eksponenttia

.

Edellinen on koulumatematiikassakin esitetty määritelmä. Matematiikassa lukua yksi pidetään kertolaskuun liittyvänä rationaalilukujoukon neutraalialkiona eli 1-alkiona. Koska matematiikan neutraalialkion käsite on paljon laajempi, käytetään nimitystä 1-alkio vain luvuille ja sellaisille binäärioperaatioille, jotka ovat luonteeltaan multiplikatiivisia.

Sisällysluettelo

Luonnolliset- ja kokonaisluvutMuokkaa

Koska käänteisluku voi olla rationaaliluku, ei termiä käytetä luonnollisten- ja kokonaislukujen yhteydessä. Ainoat kokonaisluvut, joiden käänteisluku kuuluu kokonaislukuihin ovat 1 ja -1. Molemmissa tapauksissa näiden käänteisluvut ovat kyseiset luvut itse.

RationaaliluvutMuokkaa

Jokaisella rationaaliluvulla on olemassa käänteisluku paitsi nollalla. Tämän voi todeta itse seuraavasti. Merkitään nollan käänteislukua kirjaimella  . Silloin voidaan määritelmästä lähtien nopeasti päätellä

 

ja koska nollalla ei voi jakaa, ei nollalle voi määrittää käänteislukua.

Samalla menettelyllä voidaan muodostaa jokaiselle nollasta eroavalle rationaaliluvulle käänteisluku. Jos merkitään yleisesti rationaalilukua kahden kokonaisluvun osamääränä eli murtolukuna

 

voidaan määrittää sille käänteisluku

 .

Käänteisluvun nimitys liittynee rationaaliluvun murtolukuesityksen "kääntämiseen" käänteislukua muodostettaessa.

Esimerkiksi luvun   käänteisluku on  .

Kokonaisluvun käänteisluku on sen yksikkömurtoluku. Esimerkiksi luvun   käänteisluku on   ja luvun   käänteisluku on   eli  . Tästä huomataan, että rationaalukujen murtoesityksen merkkisäännöt säilyttävät käänteisluvun etumerkin samana.

ReaaliluvutMuokkaa

Reaaliluvut saadaan täydentämällä rationaalilukujen joukkoa irrationaaliluvuilla. Jokaisella irrationaaliluvulla on käänteislukunsa, joten reaalilukujen joukko on samantapainen joukko käänteislukujen suhteen kuin rationaaliluvutkin.

Kymmenpotenssiluvuille, kuten 100 ja 10 000, voi määrittää käänteisluvut desimaalimuodossa helposti. Sadan käänteisluku on 0,01 ja 10 000 se on 0,0001. Tämä siksi, että   ja sen käänteisluku saadaan

 .

Käänteisluvun numeerinen määritysMuokkaa

Koska kymmenpotenssin kerroin muuttuu lukua käännettäessä, ei yleisen desimaaliluvun kääntäminen ole yksinkertainen laskutoimitus. Seuraava iteraatiota toistamalla voidaan käänteisluvun desimaaliesityksen likiarvo laskea käyttämällä pelkästään kerto- ja vähennyslaskua.

Iteraatio vaatii siemenluvun  , joka voi olla mikä tahansa reaaliluku. Annetulla luvulla   aletaan iteroida riittävän monta kertaa lauseketta  , missä   on käännettävä luku.

 .

Iteraatio tuottaa lukujonon, joka suppenee kohti käänteislukua  :

 

KompleksiluvutMuokkaa

Kompleksiluvut muodostettiin täydentämällä reaaliluvut imaginaariluvuilla muodostetuilla kompleksiluvuilla. Kompleksiluvun  , missä   ja   ovat reaalilukuja ja   on imaginaariyksikkö, käänteisluku on, kun   on sen liittoluku:

 .

Jos kompleksiluku on esitetty polaarimuodossa Eulerin kaavan avulla

 ,

niin sen potenssi esityksen

 

käänteisluku on

 .

JaksollisuusMuokkaa

Mikäli kokonaisluvun käänteisarvoa laskettaessa jakolasku ei mene ns. tasan, on tuloksena jaksollinen desimaaliluku. Tätä voi havainnollistaa suorittamalla jakolasku kynällä ja paperilla. Laskennan välituloksina saadut jakojäännökset ovat lähtökohtana olevaa kokonaislukua pienempiä, joten ennen pitkää päädytään jakojäännökseen, joka on jo esiintynyt, ja ko. kohdasta alkaa siten uusi jakso. Laskettaessa kokonaisluvun käänteisarvo laskimella voi laitteen näytössä olla liian vähän numeroita, jotta jaksollisuus tulisi esille. Tällöin laskenta voidaan suorittaa joko kynällä ja paperilla tai esim. seuraavan ohjeen mukaan. Esim. kokonaisluvun 17 käänteisarvo lasketaan seuraavasti, kunhan ensin on huomattu, että

 
  1. jaettava = 100
  2. jakaja = 17
  3. numero = luvun   kokonaislukuosa
  4. tulosta numero
  5. jäännös = jaettava – numero × jakaja
  6. jaettava = jäännös × 10
  7. jatka kohdasta 3

Tuloksena saadaan

  = 0,05882352941176470588...

Erityisiä ominaisuuksiaMuokkaa

Positiivisen reaaliluvun ja sen käänteisluvun summa on aina vähintään 2 eli

 

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa