Käänteisluku

luku, jolla kerrottaessa tulos on 1

Käänteisluku liittyy käsitteenä matematiikassa kahden luvun kertolaskuun, jonka tulokseksi saadaan yksi:

Funktion y = 1/x kuvaaja arvoille, jolloin x ei ole 0. Kuvaaja on hyperbeli. Sen jokaisen pisteen (x,y) koordinaatit x ja y ovat toistensa käänteislukuja.
.

Tällöin sanotaan, että molemmat luvut ja ovat toistensa käänteislukuja. Käänteislukumerkintänä käytetään usein negatiivista eksponenttia

.

Edellinen on koulumatematiikassakin esitetty määritelmä. Matematiikassa lukua yksi pidetään kertolaskuun liittyvänä rationaalilukujoukon neutraalialkiona eli 1-alkiona. Koska matematiikan neutraalialkion käsite on paljon laajempi, käytetään nimitystä 1-alkio vain luvuille ja sellaisille binäärioperaatioille, jotka ovat luonteeltaan multiplikatiivisia.

Luonnolliset ja kokonaisluvut

muokkaa

Koska käänteisluku voi olla rationaaliluku, ei termiä käytetä luonnollisten tai kokonaislukujen yhteydessä. Ainoat kokonaisluvut, joiden käänteisluku kuuluu kokonaislukuihin, ovat 1 ja -1. Kummassakin tapauksessa luvun käänteisluku on kyseinen luku itse.

Rationaaliluvut

muokkaa

Jokaisella rationaaliluvulla, paitsi nollalla, on olemassa käänteisluku. Tämän voi todeta itse seuraavasti: Merkitään nollan käänteislukua kirjaimella  . Silloin voidaan määritelmästä lähtien nopeasti päätellä, että

 

ja koska nollalla ei voi jakaa, ei nollalle voi määrittää käänteislukua.

Samalla menettelyllä voidaan muodostaa jokaiselle nollasta eroavalle rationaaliluvulle käänteisluku. Jos merkitään yleisesti rationaalilukua kahden kokonaisluvun osamääränä eli murtolukuna

 ,

voidaan määrittää sille käänteisluku

 .

Käänteisluvun nimitys liittynee rationaaliluvun murtolukuesityksen "kääntämiseen" käänteislukua muodostettaessa.

Esimerkiksi luvun   käänteisluku on  .

Kokonaisluvun käänteisluku on sen yksikkömurtoluku. Esimerkiksi luvun   käänteisluku on   ja luvun   käänteisluku on   eli  . Tästä huomataan, että rationaalukujen murtoesityksen merkkisäännöt säilyttävät käänteisluvun etumerkin samana.

Reaaliluvut

muokkaa

Reaaliluvut saadaan täydentämällä rationaalilukujen joukkoa irrationaaliluvuilla. Jokaisella irrationaaliluvulla on käänteislukunsa, joten reaalilukujen joukko on samantapainen joukko käänteislukujen suhteen kuin rationaaliluvutkin.

Kymmenpotenssiluvuille, kuten 100:lle ja 10 000:lle, voi määrittää käänteisluvut desimaalimuodossa helposti. Sadan käänteisluku on 0,01 ja 10 000 se on 0,0001. Tämä siksi, että   ja sen käänteisluku saadaan

 .

Käänteisluvun numeerinen määritys

muokkaa

Koska kymmenpotenssin kerroin muuttuu lukua käännettäessä, ei yleisen desimaaliluvun kääntäminen ole yksinkertainen laskutoimitus. Seuraavaa iteraatiota toistamalla voidaan käänteisluvun desimaaliesityksen likiarvo laskea käyttämällä pelkästään kerto- ja vähennyslaskua.

Iteraatio vaatii siemenluvun  , joka voi olla mikä tahansa reaaliluku. Annetulla luvulla   aletaan iteroida riittävän monta kertaa lauseketta  , missä   on käännettävä luku.

 .

Iteraatio tuottaa lukujonon, joka suppenee kohti käänteislukua  :

 

Kompleksiluvut

muokkaa

Kompleksiluvut muodostettiin täydentämällä reaaliluvut imaginaariluvuilla. Kompleksiluvun  , missä   ja   ovat reaalilukuja ja   on imaginaariyksikkö, käänteisluku on, kun   on sen liittoluku:

 .

Jos kompleksiluku on esitetty polaarimuodossa Eulerin kaavan avulla

 ,

niin sen potenssi esityksen

 

käänteisluku on

 .

Jaksollisuus

muokkaa

Mikäli kokonaisluvun käänteisarvoa laskettaessa jakolasku ei niin sanotusti mene tasan, on tuloksena jaksollinen desimaaliluku. Tätä voi havainnollistaa suorittamalla jakolaskun kynällä ja paperilla. Laskennan välituloksina saadut jakojäännökset ovat lähtökohtana olevaa kokonaislukua pienempiä, joten ennen pitkää päädytään jakojäännökseen, joka on jo esiintynyt, ja tästä kohdasta alkaa siten uusi jakso. Laskettaessa kokonaisluvun käänteisarvo laskimella voi laitteen näytössä olla liian vähän numeroita, jotta jaksollisuus tulisi esille. Tällöin laskenta voidaan suorittaa joko kynällä ja paperilla tai esimerkiksi seuraavan ohjeen mukaan. Esimerkiksi kokonaisluvun 17 käänteisarvo lasketaan seuraavasti, kunhan ensin on huomattu, että

 
  1. jaettava = 100
  2. jakaja = 17
  3. numero = luvun   kokonaislukuosa
  4. tulosta numero
  5. jäännös = jaettava – numero × jakaja
  6. jaettava = jäännös × 10
  7. jatka kohdasta 3

Tuloksena saadaan

  = 0,05882352941176470588...

Erityisiä ominaisuuksia

muokkaa

Positiivisen reaaliluvun ja sen käänteisluvun summa on aina vähintään 2 eli

 

Katso myös

muokkaa

Lähteet

muokkaa

Kirjallisuutta

muokkaa

Aiheesta muualla

muokkaa