Käänteislukufunktio

Funktion y = 1/x kuvaaja arvoille, jolloin x ei ole 0. Kuvaaja on hyperbeli. Sen jokaisen pisteen (x,y) koordinaatit x ja y ovat toistensa käänteislukuja.

Käänteislukufunktion arvot muodostetaan ottamalla annetun luvun käänteisluku. Koska nollan käänteislukua ei ole olemassa[1], saadaan reaalilukufunktion muodolliseksi määritelmäksi

Kuvaus voidaan suorittaa kaikilla reaaliluvuilla paitsi nollalla. Koulumatematiikassa sama ilmaistaan useimmiten

Määrittelyjoukko on siis kaikki reaaliluvut paitsi nolla. Funktio voidaan määritellä myös muilla lukualueilla ja niistä tarkemmin myöhemmin.

Käänteislukufunktio on erikoistapaus potenssifunktioista, jossa (kun ja )

Käänteislukufunktion arvon määrittäminenMuokkaa

Kokonais- ja rationaalilukuMuokkaa

Kokonaisluvun käänteisluku on yksikkömurtoluku. Se on rationaali- eli murtoluvun käänteisluvun erikoistapaus. Kokonaisluvun   ja murtoluvun   käänteisluku lasketaan käyttäen kokonais- ja murtolukujen jakolaskun ominaisuuksia hyväksi:

 

ja

 

ReaalilukuMuokkaa

Yleisesti ottaen reaaliluvun käänteisluvun laskeminen ei ole helppo tehtävä. Se voidaan aina merkitä lausekeella  , mutta sen numeerisen arvon laskemieen esimerkiksi laskimessa tarvitaan iteroiva algoritmi.

KompleksilukuMuokkaa

Kompleksiluvun   käänteisluvun laskemiseen käytetään kompleksilukujen   ja   jakolaskun ominaisuuksia:

 

Kun   ja   saadaan

 

missä   on luvun   liittoluku eli konjugaattiluku. Tulos voidaan ilmaista myös kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosan avulla:

  [2]

Jos reaali- ja imaginaariosat ovat reaalilukuja, käänteisluvun numeerinen arvo lasketaan reaalilukujen tapaan.

Yleisiä ominaisuuksiaMuokkaa

Monotonisuus ja nollakohdatMuokkaa

Derivaattafunktion merkistä voi päätellä, että käänteislukufunktio on monotoninen ja vieläpä aidosti vähenevä välillä, joka mahtuu määrittelyjoukoonsa. Funktiolla   ei ole nollakohtia.

Symmetrisyys ja parittomuusMuokkaa

Käänteislukufunktiolla on potenssiesityksessä pariton eksponentti

 

joten se kuuluu parittomiin funktioihin. Parittomalle funktiolla vastaluvut antavat tulokseksi vastaluvut

 

Kuvaajat ovatkin origosymmetrisiä eli funktion kuvaajan jokaiselle pisteelle löytyy yhtä kaukana origon takana toinen funktion kuvaajan vastinpiste.

Derivaatta ja integraaliMuokkaa

Reaalifunktion derivaattafunktio on

 

ja integraalifunktio

 

kun   ja  

Raja-arvotMuokkaa

Reaalifunktion arvot pienenevät, kun arvot kasvavat. Funktion raja-arvot ovat

 

Funktion epäoleelliset toispuoliset raja-arvot, kun lähestytään nollaa oikealta, on

 

ja kun lähestytään nollaa vasemmalta on

 

Katso myösMuokkaa

Lähteet ja viitteetMuokkaa

  1. Weisstein, Eric W.: Division by Zero (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Singleton, Robert P. and Weisstein, Eric W.: Reciprocal (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)