Irrationaaliluku

matematiikassa reaaliluku, jota ei voi esittää kahden kokonaisluvun suhteena

Irrationaaliluku on matematiikassa reaaliluku, jota ei voi esittää kahden kokonaisluvun suhteena, eli rationaalilukuna , missä ja ovat kokonaislukuja. Irrationaalilukua ei voi esittää päättyvänä tai jaksollisena desimaalilukuna.

Irrationaalilukuja ovat muun muassa ympyrän kehän ja halkaisijan suhde pii, Neperin luku, kultaisen leikkauksen suhde, useimpien kokonaislukujen juuret (esimerkiksi ), useat logaritmit ja useat trigonometristen funktioiden arvot.

Historia

muokkaa

Ensimmäisen kerran länsimaisessa historiassa joutui irrationaalilukujen kanssa vastatusten Pythagoras ja hänen oppilaansa. Pythagoralaiset uskoivat kaikkien matemaattisten asioiden olevan käsiteltävissä pelkästään rationaalilukujen kautta, kunnes alkoivat miettiä sen neliön lävistäjän pituutta, jonka sivun pituus on yksi. He käyttivät Pythagoraan lausetta mutta huomasivat, ettei mikään rationaaliluku toteuta yhtälöä x² = 2. Toisin sanoen neliön lävistäjä ja sivu ovat keskenään yhteismitattomia. Ilman tätä havaintoa voitaisiin ajatella, että rationaaliluvuilla saadaan koko lukusuora katetuksi, sillä jokaisen kahden murtoluvun välissä on aina ääretön määrä rationaalilukuja. Kesti yli kaksituhatta vuotta ennen kuin saksalainen matemaatikko Richard Dedekind vuonna 1872 onnistui liittämään rationaali- ja irrationaaliluvut hyväksyttävin perustein yhdeksi suureksi lukujoukoksi, reaaliluvuiksi.

Vaikka rationaalilukuja on ääretön määrä, on irrationaalilukuja tavallaan vieläkin enemmän, minkä todisti Georg Cantor muutamaa vuotta Dedekindin jälkeen. Hän osoitti, ettei irrationaalilukujen joukkoa voida järjestää loputtomaksi jonoksi, toisin kuin kokonaislukujen ja rationaalilukujen joukot. Tätä kutsutaan ylinumeroituvuudeksi.

Irrationaaliluvuista ja rationaaliluvuista

muokkaa

Kahden rationaaliluvun summa tai erotus on aina rationaaliluku[1]. Kahden irrationaaliluvun summa tai erotus voi kuitenkin olla niin irrationaali- kuin rationaalilukukin.[2]

Esimerkkinä kahden irrationaaliluvun summasta, joka on rationaaliluku, ovat luvut   ja  , joiden summa on  .

Esimerkki irrationaalisuuden todistamisesta

muokkaa

Luku   voidaan todistaa irrationaaliluvuksi epäsuorasti. Tehdään vastaoletus: oletetaan, että   on rationaaliluku, eli että on olemassa kokonaisluvut   ja   siten, että  . Ainakin toisen luvuista   ja   voidaan olettaa olevan pariton, koska muuten murtolukua   voidaan supistaa luvulla kaksi.

Luvun neliö on  , mistä saadaan kokonaislukujen neliöiden välinen yhtälö  . Parittoman luvun neliö on selvästi pariton, joten tällöin  :n on oltava parillinen eli muotoa  , missä   on kokonaisluku. Koska luku   on parillinen, on luvun   oltava pariton. Toisaalta  , jolloin neliöiden välinen yhtälö voidaan supistaa muotoon  . Koska parittoman luvun neliö on pariton, on saatu ristiriita. Täten alkuperäinen väite pätee, eli   on irrationaaliluku.

Katso myös

muokkaa

Lähteet

muokkaa
  1. Rational number (rationaalilukujen a/b ja c/d summa on määritelmällisesti (ad + cb) / bd. Koska kokonaislukujen, joita a, b, c ja d ovat, summa ja tulo ovat kokonaislukuja, kyseessä on rationaaliluku) Encyclopaedia of Mathematics. Viitattu 12.7.2011.
  2. Dunlap, Richard A.: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers s. 12

Kirjallisuutta

muokkaa

Aiheesta muualla

muokkaa