Irrationaaliluku

matematiikassa reaaliluku, jota ei voi esittää kahden kokonaisluvun suhteena

Irrationaaliluku on matematiikassa reaaliluku, jota ei voi esittää kahden kokonaisluvun suhteena, rationaalilukuna (), jossa m ja n ovat kokonaislukuja. Irrationaaliluvun pääominaisuus on se, ettei sitä voida esittää päättyvänä tai jaksollisena desimaalilukuna. Irrationaalilukua käsitellään usein kyseistä tarkoitusta varten kehitetyllä symbolillalähde?. Esimerkiksi piitä merkitään π:llä ja Neperin lukua e:llä.

Irrationaalilukuja ovat muun muassa ympyrän kehän ja halkaisijan suhde pii, Neperin luku, kultaisen leikkauksen suhde, useimpien kokonaislukujen murtopotenssit (esimerkiksi ), useat logaritmit (esimerkiksi ) ja useat trigonometristen funktioiden arvot (esimerkiksi ).

HistoriaMuokkaa

Ensimmäisen kerran länsimaisessa historiassa joutui irrationaalilukujen kanssa vastatusten Pythagoras ja hänen oppilaansa. Pythagoralaiset uskoivat kaikkien matemaattisten asioiden olevan käsiteltävissä pelkästään rationaalilukujen kautta, kunnes alkoivat miettiä sen neliön lävistäjän pituutta, jonka sivun pituus on yksi. He käyttivät Pythagoraan lausetta mutta huomasivat, ettei mikään rationaaliluku toteuta yhtälöä x² = 2. Toisin sanoen neliön lävistäjä ja sivu ovat keskenään yhteismitattomia. Aiemmin saatiin rationaaliluvuilla koko lukusuora "katetuksi", sillä jokaisen kahden murtoluvun välissä on aina ääretön määrä rationaalilukuja. Kesti yli kaksituhatta vuotta ennen kuin saksalainen matemaatikko Richard Dedekind vuonna 1872 onnistui liittämään rationaali- ja irrationaaliluvut hyväksyttävin perustein yhdeksi suureksi lukujoukoksi, reaaliluvuiksi.

Vaikka rationaalilukuja on ääretön määrä, on irrationaalilukuja tavallaan vieläkin enemmän, minkä todisti Georg Cantor muutamaa vuotta Dedekindin jälkeen. Hän osoitti, ettei irrationaalilukujen joukkoa voida järjestää loputtomaksi jonoksi, toisin kuin kokonaislukujen ja rationaalilukujen joukot. Tätä kutsutaan ylinumeroituvuudeksi.

Irrationaaliluvuista ja rationaaliluvuistaMuokkaa

Kahden rationaaliluvun summa (ja siten myös erotus) on aina rationaaliluku[1]. Kahden irrationaaliluvun summa (ja erotus) voi kuitenkin olla niin irrationaali- kuin rationaalilukukin.[2]

Helppona esimerkkinä kahden irrationaaliluvun summasta, joka on rationaaliluku, on luvut   ja  , joiden summa on siis  .

Tunnettuja irrationaalilukujaMuokkaa

Osoitetaan luvun   olevan irrationaaliluku.

Tehdän vastaoletus: on olemassa   siten, että  . Tällöin   on rationaaliluku.

Voidaan olettaa ainakin toisen luvuista   olevan pariton, koska muuten murtolukua   voidaan supistaa luvulla kaksi aina uudelleen ja uudelleen.    . Parittoman luvun neliö on selvästi pariton, joten tällöin  :n on oltava parillinen eli muotoa  . Ja tällöin luku   on välttämättä pariton. Nyt    . Koska parittoman luvun   neliö on selvästi pariton, niin ollaan saatu ristiriita. Täten alkuperäinen väite pätee, eli   on irrationaaliluku.  

LähteetMuokkaa

  1. Rational number (rationaalilukujen a/b ja c/d summa on määritelmällisesti (ad + cb) / bd. Koska kokonaislukujen, joita a, b, c ja d ovat, summa ja tulo ovat kokonaislukuja, kyseessä on rationaaliluku) Encyclopaedia of Mathematics. Viitattu 12.7.2011.
  2. Dunlap, Richard A.: The Golden Ratio and Fibonacci Nubmers s. 12

Aiheesta muuallaMuokkaa

KirjallisuuttaMuokkaa