Avaa päävalikko
Ympyrä ja sen osia
Osa artikkelisarjaa
Geometria
Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

Ympyrä on geometriassa kaikkien niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä (ympyrän keskipisteestä) on pienempi, tai yhtä suuri kuin ympyrän säde r. Kehän pisteeltä toiselle kulkevaa janaa kutsutaan jänteeksi. Halkaisija on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Ympyrän pyörähdyskappale sen keskipisteen kautta kulkevan suoran ympäri on pallo.

Ympyrän voidaan ajatella olevan erikoistapaus ellipsistä, joka on ympyrän ohella yksi kartioleikkauskuvio.

Ympyräksi kutsutaan usein myös ympyrän kehän sisään jäävää tason osaa eli ympyräkiekon aluetta. Muun muassa metristen avaruuksien topologiassa ja kompleksianalyysissä alueesta käytetään nykyisin yleensä termiä kiekko.[1]

Piirin ja halkaisijan suhde on vakio, pii, joka merkitään kreikkalaisella kirjaimella .

Ympyrän kehän pituus ja pinta-alaMuokkaa

Ympyrän kehän (piirin) pituus   saadaan kaavasta:

 , jossa   on ympyrän säde ja  on vakio pii noin 3,14.

Voidaan myös ilmaista säde   ja halkaisijan   avulla, eli  :

 

Ympyrän sisään jääneen alueen pinta-ala   saadaan kaavasta:

 , missä   on ympyrän säde tai vastaavasti:

Jos ympyrän kehän pituus   tunnetaan, voidaan pinta-ala   laskea kaavasta:

 
 , jossa   on ympyrän halkaisija.

Jos ympyrän halkaisija   ja kehän pituus   tunnetaan, voidaan pinta-ala laskea (ilman lukua  ) kaavasta:

 

Jos tarkastellaan vakiomittaisia sulkeutuvia käyriä, on ympyrä sellainen käyrän muoto, joka sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen pinta-alan.

Matemaattisesti tämä isoperimetrisen epäyhtälön nimellä kulkeva tulos voidaan muotoilla seuraavasti. Olkoon   sulkeutuvan, jatkuvan ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän eli Jordanin käyrän pituus ja   sen rajaaman äärellisen tasoalueen pinta-ala. Tällöin

 

missä yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun kyseessä on ympyrä.

Ympyrän kaari, sektori ja segmenttiMuokkaa

Ympyrän kaari tarkoittaa ympyrän kehän osaa.[2] Esim. sektori tai segmentti jakaa ympyrän kehän kahteen kaareen.

Ympyrän kaaren pituus saadaan jakamalla kaaren rajaavan keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän kehän pituuden kaavalla  .

Ympyrän sektori tarkoittaa ympyrän kahden säteen ja niiden ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.[2]

Ympyrän sektorin pinta-ala saadaan jakamalla sektorin rajaavien säteiden muodostaman keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän pinta-alan kaavalla  .

Ympyrän segmentti tarkoittaa ympyrän jänteen ja sen ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.

Ympyrän yhtälö kaksiulotteisessa reaaliavaruudessaMuokkaa

Keskipisteen ja säteen avullaMuokkaa

Olkoon piste (x0,y0) ympyrän keskipiste, r ympyrän säde ja piste (x,y) mikä tahansa koordinaatiston piste. Jokaisen ympyrän kehän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on ympyrän säde eli r. Kuvitellaan suorakulmainen kolmio, jonka terävinä kulmina on pisteet (x0,y0) ja (x,y). Kolmion hypotenuusan pituus eli pisteiden etäisyys on Pythagoraan lauseen mukaan

 

Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan

 

Korottamalla yhtälö puolittain toiseen saadaan hieman kätevämpi muoto

 

Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:

  , jossa a, b, c ja r ovat reaalilukuja:
  [3]

Jos ympyrän keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ympyrän yhtälö

 

joka on parametrimuodossa:

 

Napakoordinaattiesitys origokeskiselle ympyrälle on yksinkertaisesti: r = vakio

Kun ympyrän yhtälö tunnetaan, voidaan sen pinta-ala ja kehän pituus laskea myös integroimalla. Lisäksi voidaan johtaa kaavat pallon tilavuudelle ja pinta-alalle.

Kolmen pisteen avullaMuokkaa

Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään     ja  , voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla

  [4]

joka on evaluoituna

  [4]

missä

 

x:n kerroin   saadaan matriisista

 

jättämällä   termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti  :n suhteen) determinantista

 

ja

 

ja vakiotermi c

 

Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa

  [4]

missä keskipisteen koordinaatit ovat

 

ja

 

sekä säde

  [4]

Ympyrän kulmiaMuokkaa

Ympyrän kehäkulmaksi kutsutaan sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärkipiste on ympyrän kehällä ja jonka molempien kylkien osana on jänne tai jonka toisen kyljen osana on jänne ja toinen kylki on tangentilla. Keskuskulma taas tarkoittaa sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Tangenttikulma tarkoittaa kulmaa, joiden kyljet ovat tangenteilla.

Neljä ympyrääMuokkaa

 
Neljä toisia sivuavaa ympyrää

Piirrettäessä neljä samanlaista ympyrää sivuamaan toisia siten, että ympyröiden keskipisteet muodostavat neliön, on ympyröiden väliin jäävän alueen (merkitty harmaalla) pinta-ala

 ,

missä r on kunkin ympyrän säde.[5]

Seitsemän ympyrääMuokkaa

 
Seitsemän toisia sivuavaa ympyrää

Ympyrän ympärille voidaan piirtää tiiviiksi ryhmäksi kuusi muuta samanlaista ympyrää siten, että kukin lisätty ympyrä sivuaa kahta muuta ja keskusympyrää.

Mikäli ympäröivien ympyröiden säde on kaksi kertaa niin suuri kuin keskusympyrän säde r, ympäröivien ympyröiden määräksi tulee viisi. Jos ympäröivien ympyröiden säde on r/2, niitä mahtuu kuvioon kymmenen.[6]

Ympyrä ja neliöMuokkaa

 
Ympyrä ja neliö

Mikäli ympyrällä ja neliöllä on viisi yhteistä pistettä kuvan osoittamalla tavalla, niin ympyrän säteen ja neliön sivun suhde on 5/8.[7]

Ympyrä ja paraabeliMuokkaa

 
Paraabelien pisteet ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista

Sellaisten pisteiden ura, jotka ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista, on paraabeli.[8] Kuvioita on kaksi, ja niitä kuvaavat yhtälöt

 

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Kompleksianalyysi (sivu 13) users.jyu.fi. Viitattu 1.9.2010.
  2. a b Tammi: Matematiikan teoriakirja Kolmio
  3. Yngve Lehtosaari – Jarkko Leino: Matematiikka 10. Lukion laajempi kurssi. 6.1. Ympyrä, s. 152. Helsinki: Kirjayhtymä, 1971.
  4. a b c d Weisstein, Eric W.: Circumcircle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Jukka Kangasaho, Jukka Mäkinen, Juha Oikkonen, Johannes Paasonen, Maija Salmela: Geometria (Pitkä matematiikka). (Tehtävän 224, s. 101, mukaan). WSOY, 2001. ISBN 951-0-24558-5.
  6. Jukka Kangasaho ym. (Tehtävän 249, s. 107, mukaan).
  7. Metsänkylä, Y. ja Metsänkylä, R.: Matemaattiset tehtävät ylioppilastutkinnoissa 1969–1989. 36. painos, s. 15, 80. Jyväskylä, Gummerus, 1981. ISBN 951-20-1814-4.
  8. Metsänkylä, Y. ja Metsänkylä, R.: Tehtävä 6, s. 15, 81.

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa