Pisteen potenssi

Pisteen potenssi on tasogeometriassa ympyrään ja sen sekantin tai jänteen pisteeseen liittyvä suure, joka kuvaa pisteen sijaintia suhteessa ympyrään ympyrän keskipisteeseen. Pisteestä piirretään ympyrää sivuava tai sen kehän kahdesti leikkaava suora. Pisteestä kummallekin kehäpisteelle mitataan janojen pituudet, joiden tulo voidaan todistaa olevan vakio valitun sekantin suunnasta riippumatta.

Pisteen potenssi, kun piste P sijaitsee ympyrän ulkopuolella, kehällä tai sisäpuolella.

Pisteen P potenssi sijaitsee ympyrän sisällä. Pisteen potenssin arvo on molemmissa tapauksissa (AB tai CD) sama, vaikka jänne olisi eri asennossa.

Piste $P$ voi sijaita ympyrän suhteen missä vain. Kun piste sijaitsee ympyrän sisällä, jakaa se ympyrän sekantin kahteen osaan. Kun se sijaitsee ympyrän ulkopuolella, erottaa ympyrän kehä pisteen kautta kulkevasta suorasta mainitun sekantin. Pisteen potenssin lauseketta varten merkitään pistettä kirjaimella $P$ ja sekantin kehäpisteitä $A$ ja $B$. Pisteen $P$ potenssi $p(P)$ lasketaan

$p(P)=PA\cdot PB.$

Pisteen potenssin arvo on positiivinen $p(P)>0$, kun piste sijaitsee ympyrän ulkopuolella. Jos se sijaitsee ympyrän kehällä, on pisteen potenssi $p(P)=0$. Kun piste on ympyrän sisällä, on $p(P)<0$ eli negatiivinen. Janat ovat silloin suunnattuja janoja ja niiden pituus voi olla myös negatiivinen. Jos pisteen potenssit lasketaan positiivisilla janan pituuksilla, saadaan pisteen potensiksi aina $p(P)\geq 0$.

Pisteen potenssin lause

Pisteen P potenssi. Lause pätee, vaikka P olisi ympyrän sisäpuolella.

Pisteen potenssi on kullekin pisteelle aina sama riippumatta sekantin suunnasta. Tämä johtuu kehäkulmalauseesta. Jos merkitään kaksi linjaa, joiden pisteet ovat P, B ja A sekä P, D ja C, saadaan molempien linjojen pisteen potenssiksi sama arvo

$p=PA\cdot PB=PC\cdot PD.$

Tämä todistetaan yhdistämällä kehäpisteet janoilla DA ja BC. Kulmat ovat kaarta BD vastaisina kehäkulmina yhtäsuuret. Silloin kolmiot ovat yhdenmuotoiset: $\Delta PDA\sim \Delta PBC$, ja vastinsivuille pitävät paikkansa verrannot

${\frac {PA}{PD}}={\frac {PC}{PB}}\Leftrightarrow PA\cdot PB=PC\cdot PD,$

mistä lause seuraa.

Sama pätee myös ympyrän sisäpuolisille pisteelle ja kehäpisteelle.

Joskus pisteen potenssi määritetään positiiviseksi tästä huolimatta ja sillä ei tehdä eroa, onko piste ympyrän sisä- vai ulkopuolella.

Lauseen korollaarit

Kun ulkopuolisen pisteen P sekantti piirretään lähelle ympyrän kehän sivua, voidaan huomata, leikkauspisteiden lähestyvän toisiaan. Sekantin muuttuessa tangentiksi, sivuamispisteet sulautuvat toisiinsa.

Edellä selostettu tilanne syntyy, kun piste $P$ sijaitsee ympyrän ulkopuolella. Janat, joita vertailtiin, olivat osia sekanteista. Lauseen tätä korollaaria eli lauseen seurausta voisi siksi kutsua sekantti-sekantti-lauseeksi (todistus ). Kun piste sijaitsee ympyrän sisällä, ovat janat ympyrän jänteitä ja lauseen korollaaria voisi kutsua jänne-jänne-lauseeksi (todistus ). Viimeisin tapaus syntyy, jos ympyrän ulkopuolelta toinen janoista on sekantti ja toinen tangentti, jolloin tätä korollaaria voisi kutsua sekantti-tangentti-lauseeksi. Kukin korollaari on todistettavissa vain hieman eri tavalla.

Viimeiseksi mainitussa tilanteessa tangentilla on vain yksi leikkauspiste kahden sijasta. Tangentti on selvästi rajatapaus sekantista, joka on siirtynyt lähelle kehän "äärilaitaa". Mitä lähemmäksi sekantin leikkauspisteet tulevat toisiaan, sen lähemmäksi ne tulevat tangentin sivuamispistettä. Voidaan ajatella, että sekantin kaksi pistettä olisivat "sulautuneet" toisiinsa tangenttipisteeksi $C$. Pisteen potenssi voidaan silloin kirjoittaa

$p(P)=PC\cdot PC=PC^{2},$

missä $C$ on tangentin sivuamispiste. Tämän perusteella voidaan ajatella, että $PC$ on sekanttien $PA$ ja $PB$ keskiverto eli geometrinen keskiarvo. Tämä vastaa pisteen potenssin neliöjuurta (todistus ).

Pisteen potenssi funktiona

Pisteen potenssi on pisteen etäisyyden funktio origosta.

Pisteen potenssin kuvaaja tapauksessa, jossa ympyrän säde on 1. Pinta muodostaa paraboloidin.

Antiikin Kreikassa ei pisteen potenssia tutkittu, sillä silloin funktiokäsitettä ei ollut vielä olemassa. Tuolloin ei myöskään käsitelty tarkemmin suunnattuja janoja, vaikka niitä käytettiin satunnaisesti hyväksi. Kun pisteen potenssia alettiin hyödyntää 1800-luvun geometriassa, otettiin sille käyttöön uusi funktiopohjainen määritelmä.

Merkitään pisteen $P$ etäisyyttä ympyrän keskipisteeseen $O$ kirjaimella $d$ ja ympyrän sädettä kirjaimella $r$. Kuten sekantti-tangentti-korollaarin lauseessa on, pisteen potenssi voi olla myös $p(P)=PC^{2}$. Ympyrällä säde ja tangentti muodostavat aina suoran kulman, jolloin kuvassa $\Delta POT$ on suorakulmainen kolmio. Nyt pisteen potenssiksi saadaan Pythagoraan lauseen mukaisesti

$p(P)=d^{2}-r^{2}.$

Pisteen potenssi on siten $d$:n funktio.

Koska $r$ on vakio ja etäisyys $d\geq 0$, voi pisteen potenssi saada arvoja $-r^{2}\leq p(P)<\infty .$ Pisteen potenssi on eräänlainen mitta pisteen etäisyydelle ympyrän keskipisteestä.

Jos sijoitetaan r-säteinen ympyrä xy-koordinaatiston origoon, voidaan pisteen potenssi $p(P)=p(x,y)$ kirjoittaa

$p(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{2}-r^{2}=x^{2}+y^{2}-r^{2}.$

Kuvaajan muodostama pinta on paraboloidi.

Historiaa

Pisteen potenssin idea tunnettiin jo Antiikin Kreikassa. Se sisältyi Eukleideen oppikirjaan Alkeet, jossa sitä käytettiin janojen ja ympyröiden käsittelyssä. Kirjassa III, lause 35, esitetään todisteet lauseen pätevyydestä.

Kun 1800-luvulla geometriaa tutkittiin ahkerasti, esitti vuonna 1826 sveitsiläinen Jakob Steiner useita pisteen potenssiin liittyviä teoreemoja. Itse nimityskin, saks. Potenz, on häneltä peräisin.

Aiheesta muualla

• Cut-the-Knot: Intersecting Chords Theorem
• Math Open Reference: Intersecting Chords Theorem, (englanniksi), animaatiolla
• Math Open Reference: Intersecting Secants Theorem, (englanniksi), animaatiolla
• Descartes et les Mathématiques: La géométrie du cercle, (ranskaksi)
• Klingels, Dick: De macht van een punt tov. een cirkel, (hollanniksi)