Kehäkulma

Kehäkulma on geometriassa ympyrään liittyvä kulma. Ympyrän kehältä valitaan kolme pistettä A, B ja P, joista P:stä piirretään jänteet PA ja PB. Jänteiden PA ja PB välistä kulmaa nimitetään kehäkulmaksi. Koska kulman määrittäminen kahden pisteen avulla jättää kaksi vaihtoehtoista tulkintaa, sidotaan keskuskulma usein ympyrän kaareen tai sitä vastaavaan jänteeseen.[1]

Kaarta AB (punainen) vastaavat keskuskulma ja kehäkulma .
Keskus- ja kehäkulma, joka ei muutu sijainnistaan huolimatta.

KehäkulmalauseMuokkaa

Seuraavaa lausetta kutsutaan kehäkulmalauseeksi: Olkoon   annettu ympyrä ja olkoot   ja   kaksi  :n pistettä siten että   ja   eivät ole  :n halkaisijan päätepisteet. Jos   ja   ovat samalla puolella suoraa   olevia  :n pisteitä, niin  .[2] Tämän tiedon välittömänä seurauksena, mikäli kahdella kehäkulmalla   ja   on yhteinen keskuskulma  , ovat kehäkulmat suuruudeltaan puolet tästä ja siten yhtäsuuret eli  . Kaikki saman kaaren kehäkulmat ovat siksi aina yhtä suuria, kuten alla olevassa kuvassa näytetään.[1][3]

Kehäkulmalauseella on yksinkertaisuudestaan huolimatta merkittävä asema Euklidiseen geometriassa, jossa sen ominaisuuksia käytettiin paljon todistamisessa. Esimerkiksi, kun kaksi ympyrän jännettä leikkaavat toisensa, voidaan kehäkulmalauseella osoittaa, että jänteiden osien tulo on vakio. Myös tunnettu tulos, jossa jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180°, saadaan kehäkulmalauseella pääteltyä helposti.[4]

 
Kehäpisteen ollessa kaaren päätepisteessä, voidaan käsitellä tilannetta poikkeavasti, koska kehäkulma näkyy nyt jänteen ja tangentin välissä.

Viimeinen huomautus nähdään yllä olevasta kuvasta. Kaarta ADC vastaavat keskuskulma α ja kehäkulma β. Kaarta CBA vastaavat keskuskulma θ ja kehäkulma ψ. Koska θ = 360° - α, ovat kehäkulma puolet tästä eli ψ = 1/2·θ = 1/2·(360° - α) = 180° - α/2 = 180° - β. Täten vastakkaiset kulmat ovat suplementtikulmat eli ψ = 180° - β.

Kun kehäpiste lähestyy kaaren reunapistettä, jää toisen kehäkulman jänne lyhyeksi. Kehäkulman suuruus säilyy saman suuruisena lähestymisen loppuun saakka, mutta kun kehäpiste yhtyy kaaren reunapisteeseen, näkyy kehäkulman aukeama sen toisen kylkenä olevan jänteen ja ympyrän tangentin välissä. Tätä erikoistilannetta voi pitää kehäkulmalauseen laajennuksena (katso viereinen kuva).

Thaleen lauseMuokkaa

Kehäkulmalauseen erikoistapauksena saadaan Thaleen lause, kun keskuskulma on oikokulma eli 180°, niin kehäkulma on suora kulma eli 90°. Kehäkulmalauseen mukaisesti kaksi (eli kaikki) puoliympyrän kehäkulmaa ovat molemmat suoria.[5]

Kehäkulmalauseen todistusMuokkaa

Lause on ollut tapana todistaa Suomen koululaitoksen oppikirjoissa yhdessä erikoistapauksessa ja kahdessa yleisessä tapauksessa, jotka kattavat kaikki tapaukset ja tukevat toisiaan todistelussa.[6]

Kehäkulman jänne ja sektorin säde ovat päällekkäinMuokkaa

 
Apukuvio todistukseen erikoistapauksessa, jossa kehäkulman kylki ja sektorin kylki ovat päällekkäin.

Tutkimalla kuviota huomataan, että

  • kehäkulma on   ja keskuskulma on  .
  • janat VO = OB = OA = R eli ympyrän säde.
  • tasakylkisessä kolmiossa   kärki O on huipun kärki ja A ja V ovat kankakulmien kärjet.
  • kantakulmat   =   =   ja huippukulma on keskuskulman vieruskulma  

Kolmion   kulmien summa on  , aivan kuten kehäkulmalause väittääkin. Tähän tulokseen vedotaan kahdessa alemmassa osassa.

Keskuskulma mahtuu kokonaan kehäkulman sisälleMuokkaa

 
Apukuvio todistukseen erikoistapauksessa, jossa keskuskulma mahtuu kehäkulman sisälle.

Piirretään kehäpisteestä V keskipisteen O kautta kulkeva halkaisija kehäpisteeseen E. Jana VE jakaa kaaren DC osiin DE ja EC. Huomataan, että

  • kaarta EC vastaavat keskuskulma   ja kehäkulma  . Tilanne on sama kuin todistuksen ensimmäisessä osassa, jolloin kehäkulman jänne ja sektorin säde olivat päällekkäin. Sen perusteella  .
  • kaarta DE vastaavat keskuskulma   ja kehäkulma  . Silloin, kun vedotaan taas todistuksen ensimmäiseen osaan, on  .
  • Kehäkulmaksi   saadaan  .

Keskuskulma   aivan kuten kehäkulmalause väittääkin.

Keskuskulma mahtuu vain osittain kehäkulman sisälleMuokkaa

 
Apukuvio todistukseen erikoistapauksessa, jossa keskuskulma mahtuu vain osittain kehäkulman sisälle.

Piirretään kehäpisteestä V keskipisteen O kautta kulkeva halkaisija kehäpisteeseen E. Jana VE osuu kaaren DC viereen muodostaen kaaret ED ja EC. Huomataan, että

  • kaarta EC vastaavat keskuskulma   ja kehäkulma  . Silloin, kun vedotaan uudestaan todistuksen ensimmäiseen osaan, on  .
  • kaarta ED vastaavat keskuskulma   ja kehäkulma  . Silloin todistuksen ensimmäisen osan mukaisesti on  .
  • Kehäkulmaksi   saadaan  .

Keskuskulma   aivan kuten kehäkulmalause väittääkin.

HistoriaMuokkaa

Eukleideksen (noin 300 eaa.) kirjassa Alkeet käsitellään kehäkulmia 3. kirjassa väittämien 20, 21 ja 22 muodossa. Väittämät olivat "kehäkulma on puolet keskuskulmasta" [7], "samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat saman suuruiset" [8] ja "vastakkaisten kaarien kehäkulmien summa on 180°" [9].

Thales (636–546 eaa.) esitti oman lauseensa paljon aikaisemmin, mutta se oli kehäkulmalauseen erikoistapaus. Hän on kuitenkin oppinut sen kauppamatkoillaan Babyloniassa. Tämänkin lauseen Eukleides liitti Alkeisiin 3. kirjaan väittämäksi 33.[10]

LähteetMuokkaa

  1. a b Weisstein, Eric W.: Inscribed Angle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. http://matematiikkalehtisolmu.fi/2011/geometria2011.pdf
  3. Weisstein, Eric W.: Central Angle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. MATHalino: Relationship Between Central Angle and Inscribed Angle
  5. Weisstein, Eric W.: Thales' Theorem (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3, s. 191–192. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2008. ISBN 978-951-26-5927-2.
  7. Eukleides: Elementa, Book 3, Prop. 20, D.E.Joyce: Clark University, 1996
  8. Eukleides: Elementa, Book 3, Prop. 21, D.E.Joyce: Clark University, 1996
  9. Eukleides: Elementa, Book 3, Prop. 22, D.E.Joyce: Clark University, 1996
  10. Eukleides: Elementa, Book 3, Prop. 33, D.E.Joyce: Clark University, 1996