Ympyrän keskipiste

Ympyrän keskipiste on geometriassa tason piste, joka on säteeksi kutsutun etäisyyden päässä ympyrän kehän pisteistä. Eräissä yhteyksissä ympyräksi kutsutaan ympyrän kehää ja toisissa taas ympyrän kehän sisäosia eli ympyräkiekkoa. Harvemmin katsotaan kehän kuuluvan osana ympyräkiekkoa. Ympyrän keskipiste on osa kiekkoa ja osa ympyrää siten näissä tulkinnoissa. Keskipiste tulitaan tämän ympyrälevyn keskukseksi.

Ympyrän keskipiste O on säteen r matkan päässä ympyrän kehän pisteistä.

Keskipisteen määritys

Keskipisteen konstruoiminen

Janan keskinormaalin konstruoiminen. Kolmen pisteen välille vedetään kolmet janat, jotka kaikki puolitetaan omalla keskinormaalilla. Kolme konsyklisen pisteen keskinormaalit leikkaavat toisensa pisteiden kautta kulkevan ympyrän keskipisteessä.

Kolmen pisteen kautta, jotka ovat konsyklisiä, voidaan piirtää ympyrä. Keskipisteen paikka voidaan löytää käyttäen vain harppia ja viivainta. Keskipiste löydetään muodostamalla pisteiden avulla piirretyn kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspiste.

Ympyrän yhtälö

Tasogeometriassa ympyrän, eli sen kehän, yhtälössä $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ keskipisteen O koordinaatit näkyvät suoraan $O(a,b)$. Avaruusgeometriassa ympyrän yhtälö kirjoitetaan $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$ ja sen keskipisteen koordinaatit ovat $O(a,b,c)$.

Kolme koordinaattipistettä

Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään $\scriptstyle P_{1}(x_{1},y_{1}),$ $\scriptstyle P_{2}(x_{2},y_{2})$ ja $\scriptstyle P_{3}(x_{3},y_{3})$, voidaan pisteiden kautta piirretyn ympyrän keskipiste $O(a,b)$ ilmaista

$a=-{\frac {b_{x}}{2a}}$

ja

$b=-{\frac {b_{y}}{2a}},$

missä kertoimet lasketaan determinanteilla

$b_{x}=-{\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\\\end{vmatrix}}$

ja

$b_{y}={\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&1\\\end{vmatrix}}$

sekä

$a\equiv {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.$

Merkillinen piste

Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on yksi Eulerin suoralla olevista kolmion merkillisistä pisteistä.

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 14.4.2013).
• Kurittu, Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 14.4.2013.
• Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 14.4.2013.