Ympyrän keskipiste
Ympyrän keskipiste on geometriassa tason piste, joka on säteeksi kutsutun etäisyyden päässä ympyrän kehän pisteistä. Eräissä yhteyksissä ympyräksi kutsutaan ympyrän kehää [1][2][3] ja toisissa taas ympyrän kehän sisäosia eli ympyräkiekkoa.[4][5][6] Harvemmin katsotaan kehän kuuluvan osana ympyräkiekkoa.[7] Ympyrän keskipiste on osa kiekkoa ja osa ympyrää siten näissä tulkinnoissa. Keskipiste tulitaan tämän ympyrälevyn keskukseksi.
Keskipisteen määritys
muokkaaKeskipisteen konstruoiminen
muokkaaKolmen pisteen kautta, jotka ovat konsyklisiä, voidaan piirtää ympyrä. Keskipisteen paikka voidaan löytää käyttäen vain harppia ja viivainta. Keskipiste löydetään muodostamalla pisteiden avulla piirretyn kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspiste.[8][9]
Ympyrän yhtälö
muokkaaTasogeometriassa ympyrän, eli sen kehän, yhtälössä keskipisteen O koordinaatit näkyvät suoraan . Avaruusgeometriassa ympyrän yhtälö kirjoitetaan ja sen keskipisteen koordinaatit ovat .
Kolme koordinaattipistettä
muokkaaJos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään ja , voidaan pisteiden kautta piirretyn ympyrän keskipiste ilmaista
ja
missä kertoimet lasketaan determinanteilla
ja
sekä
Merkillinen piste
muokkaaKolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on yksi Eulerin suoralla olevista kolmion merkillisistä pisteistä.[10][11]
Lähteet
muokkaa- Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 14.4.2013).
- Kurittu, Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 14.4.2013.
- Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 14.4.2013.
Viitteet
muokkaa- ↑ Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.3
- ↑ Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.67
- ↑ Weisstein, Eric W.: Circle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s.5
- ↑ Weisstein, Eric W.: Disk (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Open Disk (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Closed Disk (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.98
- ↑ a b c d e Weisstein, Eric W.: Circumcircle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.118
- ↑ Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.25