Ympyrän keskipiste

Ympyrän keskipiste on geometriassa tason piste, joka on säteeksi kutsutun etäisyyden päässä ympyrän kehän pisteistä. Eräissä yhteyksissä ympyräksi kutsutaan ympyrän kehää [1][2][3] ja toisissa taas ympyrän kehän sisäosia eli ympyräkiekkoa.[4][5][6] Harvemmin katsotaan kehän kuuluvan osana ympyräkiekkoa.[7] Ympyrän keskipiste on osa kiekkoa ja osa ympyrää siten näissä tulkinnoissa. Keskipiste tulitaan tämän ympyrälevyn keskukseksi.

Ympyrän keskipiste O on säteen r matkan päässä ympyrän kehän pisteistä.

Keskipisteen määritys

muokkaa

Keskipisteen konstruoiminen

muokkaa
 
Janan keskinormaalin konstruoiminen. Kolmen pisteen välille vedetään kolmet janat, jotka kaikki puolitetaan omalla keskinormaalilla. Kolme konsyklisen pisteen keskinormaalit leikkaavat toisensa pisteiden kautta kulkevan ympyrän keskipisteessä.

Kolmen pisteen kautta, jotka ovat konsyklisiä, voidaan piirtää ympyrä. Keskipisteen paikka voidaan löytää käyttäen vain harppia ja viivainta. Keskipiste löydetään muodostamalla pisteiden avulla piirretyn kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspiste.[8][9]

Ympyrän yhtälö

muokkaa

Tasogeometriassa ympyrän, eli sen kehän, yhtälössä   keskipisteen O koordinaatit näkyvät suoraan  . Avaruusgeometriassa ympyrän yhtälö kirjoitetaan   ja sen keskipisteen koordinaatit ovat  .

Kolme koordinaattipistettä

muokkaa

Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään     ja  , voidaan pisteiden kautta piirretyn ympyrän keskipiste   ilmaista

 

ja

  [9]

missä kertoimet lasketaan determinanteilla

  [9]

ja

  [9]

sekä

  [9]

Merkillinen piste

muokkaa

Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on yksi Eulerin suoralla olevista kolmion merkillisistä pisteistä.[10][11]

Lähteet

muokkaa

Viitteet

muokkaa
  1. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.3
  2. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.67
  3. Weisstein, Eric W.: Circle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s.5
  5. Weisstein, Eric W.: Disk (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Weisstein, Eric W.: Open Disk (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Weisstein, Eric W.: Closed Disk (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.98
  9. a b c d e Weisstein, Eric W.: Circumcircle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  10. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.118
  11. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.25