Konsyklisyys

Konsyklisyys tarkoittaa geometriassa pistejoukon ominaisuutta, että joukon kaikkien pisteiden kautta voidaan piirtää yhteinen ympyrä.[1] Koska pistejoukon pisteiden kautta voidaan piirtää monikulmio, sanotaan myös monikulmion olevan konsyklinen. Ympyrää kutsutaan tällöin monikulmion ympäri kulkevaksi ympyräksi.[2] Sana sykli tulee kreikan sanasta kuklos, mikä merkitsee ympyrää tai pyörää.

Pistejoukon kautta kulkeva ympyrä.
Pisteparin A ja F kautta on piirretty punainen keskinormaali, joka leikkaa ympyrän keskipisteessä pisteparien F ja E sinisen keskinormaalin ja pisteparien B ja C vihreän keskinormaalin.

Konsyklisen ympyrän keskipiste, ja siten myös säteen pituus, voidaan määrittää kahdella eri ympyrän säteen kautta kulkevalla suoralla. Kahden konsyksisen pisteen keskinormaali kulkee aina säteen kautta. Kaksi erisuuntaista, säteen kautta kulkevaa suoraa, leikkaavat aina ympyrän keskipisteessä.

Avaruusgeometriassa voidaan muodostaa ympyrä, jonka kehän pisteet ovat samassa tasossa. Ympyrä on siksi kaksiulotteinen kuvio, toisin kuin pallo, joka on kolmiulotteinen, ja se voidaan määritellä kolmannessa ulottuvuudessa myös kolmen epäkollineaarisen pisteen avulla.[3]

EsimerkkejäMuokkaa

KolmioMuokkaa

Jokaisen kolmion ympäri voidaan piirtää ympyrä, joten ne ovat aina konsyklisiä.[2]

NelikulmioMuokkaa

Nelikulmiot eivät aina ole konsyklisiä eli jännenelikulmioita. Jos nelikulmion   kulmat nimetään vastapäivään kiertäen, on konsyklisyydelle riittävä ja välttämätön ehto, että   ja  .[2][4]

Toinen nelikulmion konsyklisyysehto saadaan sivujen pituuksien ja lävistäjien avulla (Ptolemaioksen lause):

  [5][6]

Kolmas konsyklisyyden ehto käyttää nelikulmion kärkiä vapaasti. Valitaan parit AB ja CD ja vedetään niiden kautta suorat. Mikäli pisteet A, B, C ja D sekä suorien leikkauspiste P toteuttavat ehdon

 

ovat neljä pistettä syklisiä (pisteen potenssi).[7]

MuutMuokkaa

Konsyklisillä monikulmioilla voi olla kuinka monta kulmaa tahansa, mutta kaikki monikulmiot eivät ole konsyklisiä.[8][9] Erityisesti säännölliset monikulmiot ovat aina konsyklisiä.[10]

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. Weisstein, Eric W.: Concyclic (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. a b c Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 19
  3. Weisstein, Eric W.: Coplanar (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 89
  5. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 20
  6. Weisstein, Eric W.: Cyclic Quadrilateral (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Yiu, P.: Euclidean Geometry (luentomoniste) http://math.fau.edu/yiu/Geometry.html. 1998. Florida Atlantic University. Viitattu 25.9.2013.
  8. Weisstein, Eric W.: Cyclic Pentagon (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Weisstein, Eric W.: Cyclic Hexagon (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  10. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 91–93