Avaa päävalikko

Säännöllinen monikulmio on geometriassa konveksi monikulmio, joka on samalla sekä syklinen monikulmio että tangentiaalinen monikulmio, ja jolla on erityisesti kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat yhtä suuria. Säännöllinen monikulmio on siis tasasivuinen ja tasakulmainen monikulmio. Säännöllisestä muodosta johtuen sillä on olemassa useita symmetria-akseleita ja keskipiste. Säännöllisten monikulmioiden avulla etsittiin antiikin aikana piille likiarvoja.[1]

Säännöllisiä monikulmioita ovat esimerkiksi seuraavat monikulmiot:

NimityksiäMuokkaa

 
Apoteema eli pikkusäde ri, isosäde ru, sivun pituus a, sisäkulma 120o sekä keskuskulma 60o ja sen keskuskolmio.

Monikulmioita nimitetään lukusanan avulla esimerkiksi viisikulmioksi. Yleistäen, jos monikulmiossa on n kulmaa, sitä voidaan kutsua n-kulmioksi. Tällaisella säännöllisellä monikulmiolla on siten n kulmaa, kärkeä ja sivua. Kaikki kulmat ovat määritelmän mukaan saman suuruisia, joten monikulmio on tasakulmainen, ja kaikki sivut ovat saman pituisia, joten se on myös tasasivuinen.[2]

Säännöllinen monikulmio voidaan ajatella säännölliseksi sykliseksi monikulmioksi, jonka kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä säännöllisin välein. Ympyrää kutsutaan monikulmion ympäri piirretyksi ympyräksi eli lyhyemmin ulkoympyräksi. Ulkoympyrän keskipiste on samalla monikulmion symmetriapiste, jota voidaan kutsua myös monikulmion keskipisteeksi. Monikulmion kärjet sijaitsevat ison säteen R etäisyydellä keskipisteestä ja säteillä voidaan jakaa monikulmio tasakylkisiin kolmioihin, joita on yhtä monta kuin sivujakin. Kolmioita nimitetään keskuskolmioiksi. Keskipisteen ja sivun välistä etäisyyttä kutsutaan apoteemaksi eli sisään piirretyn monikulmion sivun etäisyydeksi.[3][4][5]

Säännöllinen monikulmio voidaan myös ajatella säännölliseksi tangentiaaliseksi monikulmioksi, jonka sivut sivuavat tangentteina monikulmion sisälle piirrettyä ympyrää. Tätä ympyrää voidaan kutsua monikulmion sisälle piirretyksi ympyräksi eli lyhyemmin sisäympyräksi. Sisäympyrän sädettä r kutsutaan pieneksi säteeksi ja sen arvo on samaa kuin edellä mainitulla apoteemalla.[5]

OminaisuuksiaMuokkaa

Säännölliset monikulmiot perivät kaikki yleisen monikulmion ominaisuudet. Niillä on säännöllisyydestä johtuen paljon erityisiä ominaisuuksia:

  • Säännöllisen monikulmion ympäri ja sisälle voidaan aina piirtää edellä kuvatulla tavalla ympyrät.[6][5]
  • Jos annetaan kulmien lukumäärä ja piirin pituus, kaikista näin muodostetuista monikulmioista säännöllisellä monikulmiolla on suurin pinta-ala.
  • Jos annetaan kulmien lukumäärä ja pinta-alan suuruus, kaikista näin muodostetuista monikulmioista säännöllisellä monikulmiolla on lyhin piiri.
  • Jos säännöllisen monikulmion sisältä valitaan mielivaltaisesti sisäpiste, niin sisäpisteestä sivuille piirrettyjen kohtisuorien yhteispituus on sama kuin "apoteema kertaa n".[2]

Seuraavissa kaavojen suureet tarkoittavat: s on sivun pituus, a on apoteema, p on piiri, A on ala, n on kulmien lukumäärä,   on sisäkulman suuruus.

KulmatMuokkaa

  • Sisäkulma on  .[7][2]
  • Ulkokulma eli sivun ja viereisen sivun jatkeen välinen kulma on  
  • Keskuskolmion keskuskulma on  

SivunpituusMuokkaa

Sivun pituus voidaan määrittää trigonometristen funktioiden avulla.

Sivun pituus lasketaan:  [2]

Tietyillä kulmilla sivun pituus voidaan määrittää tarkastikin:

  • tasasivuinen kolmio:   [8][9]
  • neliö:   [8][9]
  • säännöllinen kuusikulmio:   [8][9]

Sisä- ja ulkoympyrän sädeMuokkaa

Kummallekin ympyrälle on omat trigonometriset kaavansa:

  • Sisäympyrän säde:   [2]
  • Ulkoympyrän säde:   [2]

Koska trigonometriset funktiot antavat tarkkoja arvoja tietyillä kulmilla, voidaan säde ilmoitta tarkastikin:

  • tasasivuinen kolmio:   ja   [10]
  • neliö:   ja   [10]
  • säännöllinen viisikulmio:   ja   [10]
  • säännöllinen kuusikulmio:   ja   [10]

Pinta-alaMuokkaa

Pinta-ala voidaan ilmaista monella eri tavalla. Yksinkertainen geometrinen tapa on kertoa puolipiiri apoteemalla

  [4]

Toisaalta se voidaan laskea trigonometriseti:

 .[2]

Koska trigonometriset funktiot antavat tarkkoja arvoja tietyillä kulmilla, voidaan pinta-ala ilmoitta tarkastikin:

  • tasasivuinen kolmio:   [10]
  • neliö:   [10]
  • säännöllinen viisikulmio:   [10]
  • säännöllinen kuusikulmio:   [10]

KonstruktiotMuokkaa

Geometriassa on antiikin ajoista lähtien yritetty konstruoida säännöllisiä monikulmioita pelkästään harppia ja viivainta käyttämällä. Jo se kysymys, onko se ylipäätään mahdollista, on ollut vaikea kysymys vastattavaksi. Saksalainen Carl Gauss todisti, että sellaiset säännölliset n-kulmiot ovat konstruoitavissa, jossa   (jossa  ), tai   (jossa   on alkuluku). Ensimmäisen säännön mukaan konstruoitavia n-kulmioita ovat 4-, 8-, 16-, 32-, ... ja niin edelleen. Toisen säännön mukaan näiden lisäksi voidaan konstruoida vielä 3-, 6-, 12-, 24-, ... sekä 5-, 10-, 20-, 40-, ... sekä 17-, 34-, 68-, ... sekä 257- ja 65537-kulmioita ja niin edelleen.[11][9][12][13][2]

Historiaa: Piin määritysMuokkaa

 
Arkhimedeen tapa laskea piin arvo käyttämällä säännöllisiä monikulmioita ympyrän sisä- ja ulkopuolella. Kun kulmien lukuäärää kasvatettiin, saatiin monikulmioiden piirin pituuksiksi arvoja, joiden välissä 2πr tuli olla.
 
N-kulmioiden kulmia lisättiin puolittamalla edellisen laskun monikulmion keskuskulmaa. Lähtien 4-kulmiosta liikkeelle jatkettiin 8-, 16-, 32- ja 64-kulmiolla. Samaa tehtiin tahdissa ympyrää ympäröivälle n-kulmiolle.

Antiikin suureen ajattelijaan Arkhimedeeseen on liitetty piin arvon laskeminen. Hän piirsi ympyrän ympärille ja sisäpuolelle n-kulmiot, joiden piirien pituudet hän laski. Ulkopuolen piirin pituus oli luonnollisesti pitempi kuin ympyrän kehä, ja sisäpuolisen n-kulmion piiri sitä pienempi. Piin likiarvoksi saatiin tällä menetelmällä piin ylä- ja alarajan keskiarvo. Kun kulmien lukumäärää n suurennettiin puolittamalla edellisen kuvion kulmia, tarkentui piin likiarvo. Piin määrittämiseksi on keskitty lukuisia muitakin menetelmiä, joten tällä menetelmällä on enää lähinnä historiallinen arvo.[1][3]

VertailutaulukkoMuokkaa

 : Kulmaluku
 : Sivua vastaava keskuskulma
 : Sivunpituus
 : Ulkoympyrän säde
 : Sisäympyrän säde
 : Sisäkulma
 : Pinta-ala
  Nimitys           Kuvio
2 Jana 180° 2,0000 0,0000 0 0,0000  
3 Kolmio 120° 1,7321 0,5000 60 1,2990  
4 Nelikulmio 90° 1,4142 0,7071 90 2,0000  
5 Viisikulmio 72° 1,1756 0,8090 108 2,3776  
6 Kuusikulmio 60° 1,0000 0,8660 120 2,5981  
7 Seitsemänkulmio 51,43° 0,8678 0,9010 128,57 2,7364  
8 Kahdeksankulmio 45° 0,7654 0,9239 135 2,8284  
9 Yhdeksänkulmio 40° 0,6840 0,9397 140 2,8925  
10 Kymmenenkulmio 36° 0,6180 0,9511 144 2,9389  
11 11-kulmio 32,73° 0,5635 0,9595 147,27 2,9735  
12 12-kulmio 30° 0,5176 0,9659 150 3,0000  
13 13-kulmio 27,69° 0,4786 0,9709 152,31 3,0207  
14 14-kulmio 25,71° 0,4450 0,9749 154,29 3,0372  
15 15-kulmio 24° 0,4158 0,9781 156 3,0505  
16 16-kulmio 22,5° 0,3902 0,9808 157,5 3,0615  
17 17-kulmio 21,18° 0,3675 0,9830 158,82 3,0706  
18 18-kulmio 20° 0,3473 0,9848 160 3,0782  
19 19-kulmio 18,95° 0,3292 0,9864 161,05 3,0846  
20 20-kulmio 18° 0,3129 0,9877 162 3,0902  
21 21-kulmio 17,14° 0,2981 0,9888 162,86 3,0949  
22 22-kulmio 16,36° 0,2846 0,9898 163,64 3,0991  
23 23-kulmio 15,65° 0,2723 0,9907 164,35 3,1027  
24 24-kulmio 15° 0,2611 0,9914 165 3,1058  
25 25-kulmio 14,4° 0,2507 0,9921 165,6 3,1086  
26 26-kulmio 13,85° 0,2411 0,9927 166,15 3,1111  
27 27-kulmio 13,33° 0,2322 0,9932 166,67 3,1133  
28 28-kulmio 12,86° 0,2239 0,9937 167,14 3,1153  
29 29-kulmio 12,41° 0,2162 0,9941 167,59 3,1171  
30 30-kulmio 12° 0,2091 0,9945 168 3,1187  

LähteetMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. a b Royster, David: The Origins of Geometry, 2011, s. 1–9
  2. a b c d e f g h Weisstein, Eric W.: Regular Polygon (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b Lehtinen, Matti: Geometrian perusteita, s. 57
  4. a b Väisälä, Kalle: Geometria, s. 41–48
  5. a b c Väisälä, Kalle: Geometria, s. 91–96
  6. Lehtinen, Matti: Geometrian perusteita, s. 8
  7. Richard A. Dunlap: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers s. 15
  8. a b c Väisälä, Kalle: Geometria, s. 125–130
  9. a b c d Yiu, P.: Euclidean Geometry, 1998, s. 8–12
  10. a b c d e f g h Seppänen, Raimo et al.: MAOL-taulukot, s. 31. Helsinki: Kustannusosakeyhtiö Otava, 1991. ISBN 951-1-16053-2.
  11. Lehtinen, Matti: Geometrian perusteita, s. 43
  12. Yiu, P.: Euclidean Geometry, 1998, s. 83–86
  13. Väisälä, Kalle: Geometria, s. 43

Aiheesta muuallaMuokkaa