Kolmion ympäri piirretty ympyrä

Kolmion ympäri piirretty ympyrä tarkoittaa geometriassa kolmion kärkien kautta kulkevaa ympyrää.[1][2] Kolmen pisteen kautta voidaan aina piirtää joko ympyrä tai suora. Jos kolme pistettä ovat kollineaarisia, voidaan niiden kautta piirtää suora. Jos pisteet ovat epäkollineaariset, muodostuu pisteistä kolmio. Koska kolmio on aina konsyklinen, voidaan sen kärkien kautta piirtää ympyrä. Ympyrää kutsutaan myös nimellä ulkoympyrä.[3][4][5]

Kolmion ympäri piirretty ympyrä voidaan konstruoiden sivujen keskinormaalien avulla. Keskinormaalit leikkaavat samassa pisteessä, missä on ympyrän keskipiste.

Ympyrän keskipiste voi olla kolmion sisä- tai ulkopuolella. Jos kolmio on teräväkulmainen kolmio, on keskipiste kolmion sisäpuolella. Jos kolmio on suorakulmainen kolmio, on keskipiste kolmion hypotenuusalla. Jos kolmio on tylppäkulmainen kolmio, on keskipiste kolmion ulkopuolella.[1]

Yleinen kolmioMuokkaa

KoordinaateillaMuokkaa

Jos kolmion kärkien koordinaatit merkitään     ja  , voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla

  [2]

joka on evaluoituna

  [2]

missä

 

x:n kerroin   saadaan matriisista

 

jättämällä   termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti  :n suhteen) determinantista

 

ja

 

ja vakiotermi c

 

Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa

  [2]

missä keskipisteen koordinaatit ovat

 

ja

 

sekä säde

  [2]

Sivujen pituuksillaMuokkaa

Jos kolmion sivujen pituudet merkitään a, b ja c, on säde

  [1]

Sivun ja kulman avullaMuokkaa

Jos kolmiosta tunnetaan sivu ja sen vastainen kulma, saadaan Sinilauseesta

  [1][6]

Erityinen kolmioMuokkaa

Tasakylkisellä ja -sivuisella kolmiollaMuokkaa

Tasasivuisen kolmion, jonka sivun pituus on a, ympäröivän ympyrän säde R on

 

Tasakylkisellä kolmiolla, jossa kylkien pituudet ovat a ja kannan pituus b säde on

  [1]

Suorakulmaisella kolmiollaMuokkaa

Ympyrän säde on puolet hypotenuusan c eli kolmion pisimmän sivun pituudesta

 

ja keskipisteen paikka on hypotenuusan keskipisteessä (Thaleen lause).[1][7]

LähteetMuokkaa

ViiteMuokkaa

  1. a b c d e f Math Open Reference: Circumcircle of a triangle
  2. a b c d e Weisstein, Eric W.: Circumcircle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 19
  4. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 77
  5. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 98
  6. Math Open Reference: Law of Sines
  7. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 111

Aiheesta muuallaMuokkaa