Teräväkulmainen kolmio

Teräväkulmainen kolmio on kolmio, jonka kaikki kolme kulmaa ovat alle 90°. Kulmaa, joka on alle 90°, sanotaan teräväksi kulmaksi. Teräväkulmaisia kolmioita ovat muun muassa tasasivuiset kolmiot, joiden kaikki kulmat ovat 60°.

Teräväkulmaisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat alle 90°.

Muut kuin teräväkulmaiset kolmiot ovatkin joko suorakulmaisia tai tylppäkulmaisia kolmioita, koska yksi kulmista on vähintään 90°. Koska kolmion kulmien summa on aina 180°, on suorakulmaisen kolmion kaksi muuta kulmaa yhteensä 90° ja ne ovat siten teräviä kulmia. Tylppäkulmaisen kolmion yksi kulma on yli 90°, joten kahden muun kulman summa on alle 90° ja nekin ovat teräviä kulmia. Tämän perusteella kolmioissa on aina vähintään kaksi terävää kulmaa ja teräväkulmaisessa kolmiossa kaikki kolme ovat teräviä.

Kosinilauseen seuraus

Teräväkulmaisen kolmion sivuilla on eräs ominaisuus. Kosinilauseen

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

mukaan terävällä kulmalla $\cos \gamma >0$ ja silloin sivut toteuttavat seuraavat kolme epäyhtälöä

$a^{2}+b^{2}>c^{2}\Leftrightarrow a^{2}+c^{2}>b^{2}\Leftrightarrow b^{2}+c^{2}>a^{2}.$

Suorakulmaisella kolmiolla tämä epäyhtälö ei enää päde, sillä jos sen pisin sivu eli hypotenuusa merkitään c, saadaankin yhtälö $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ eli Pythagoraan lause.

Lähteet

• Väisälä Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 13.4.2013).