Avaa päävalikko
Kolmio, jonka symbolit ovat samat kuin viereisessä kaavassa

Kosinilause on trigonometrian tulos, jonka perusteella on mahdollista määrittää kolmion kulmat, kun sen kaikki sivut tunnetaan tai kolmion tuntematon sivu, kun yksi kolmion kulma ja sen viereiset sivut tunnetaan.

Kosinilauseessa on kolmion kulma, ja ovat kulman viereisten sivujen pituudet ja vastakkaisen sivun pituus. Kaava palautuu Pythagoraan lauseeseen, kun on suorakulma.[1]

TodistusMuokkaa

 
Todistus noudattaa kuvan määrittelyjä

Oletetaan, että kulma   on terävä. Olkoon h:n pituus lyhin etäisyys kolmion sivulta b sivujen a ja c yhtymään. Tällöin h voidaan esittää Pythagoraan lauseen avulla kahdella eri tavalla:

 

Tästä saadaan  

Yhtälöstä voidaan sievennyksien jälkeen ratkaista  :

 

Kulman   kosini on kuvion mukaan

 

Yhtälö saadaan muotoon  .

Todistus sujuu samoin, jos kulma   on tylppä.

Kosinilause ja vektoritMuokkaa

Kosinilause on vektorikielellä olennaisesti sama asia kuin kahden vektorin erotuksen pituuden lauseke pistetulon avulla laskettuna. Ensimmäisen kuvan merkinnöin ja pistetulon perusominaisuuksia hyväksi käyttäen saadaan:

 

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 213. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Aiheesta muuallaMuokkaa