Tangenttilause

Tangenttilause on euklidisen geometrian perustulos. Sen mukaan kolmiossa, jonka kaksi kulmaa ovat $\alpha$ ja $\beta$ ja näitä vastaavien sivujen pituudet ovat $a$ ja $b$, on voimassa:

Kolmio.

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}$.

Todistus

Sinilauseen mukaan

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.$

Olkoon

$d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},$

jolloin

$a=d\sin \alpha {\text{ ja }}b=d\sin \beta .\,$

Tällöin

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.$

Kun käytetään identiteettiä

$\sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;$

saadaan

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

Katso myös

• Sinilause
• Kosinilause
• Kotangenttilause