Ptolemaioksen lause

geomaterian lause

Ptolemaioksen lauseet ovat geometriassa nelikulmioihin liittyviä tuloksia. Kuuluisimpia Klaudios Ptolemaioksen nimiin kirjattuja tuloksia ovat syklisiin nelikulmioihin liittyvä yhtälö ja yleisiin nelikulmioihin liittyvä epäyhtälö. Näiden avulla hän muun muassa johti eräitä trigonometrian summakaavoja.[1][2][3]

Syklinen nelikulmio, jolle pätee Ptolemaioksen ensimmäinen- ja toinen lause.
Yleinen nelikulmio, joka ei ole syklinen. Tälle pätee Ptolemaioksen epäyhtälö.

Ptolemaioksen lauseMuokkaa

Ptolemaios todisti konveksille sykliselle nelikulmiolle seuraavan lauseen (kuvan merkinnöillä):

  [4]

eli vastaisten sivujen tulojen summa on sama kuin lävistäjien tulo (todistus [4]).

Pythagoraan lauseMuokkaa

Jos nelikulmio on (syklinen) suorakulmio, ovat vastaiset sivut yhtäpitkät. Nimeämällä kärjen A mukaan AB = CD ja AC = BD ja toteamalla lävistäjien olevan yhtäpitkät AD = BC, saadaan

 

eli

 

Tämä on Pythagoraan lause suorakulmaiselle kolmiolle, jota mainitut sivut merkitsevät.[5]

Ptolemaioksen toinen lauseMuokkaa

Ptolemaios huomasi toisenkin ominaisuuden. Syklisen nelikulmion lävistäjät ovat verrannollisia lävistäjän päätepisteistä lähtevien sivujen tulojen summaan. Esimerkiksi lävistäjän AC päätepisteestä A lähtee sivut AB ja AD ja päätepisteestä C lähtee sivut CB ja CD. Verrannollisuus on esitettävissä

 

Lävistäjien suhde on siten (todistus [5])

  [5]

Ptolemaioksen epäyhtälöMuokkaa

Ensimmäisen lauseen mukaan nelikulmion ABCD sivujen ja lävistäjien pituuksille voidaan esittää

 .

Epäyhtälö on voimassa kaikille nelikulmioille, mutta yhtäsuuruus on voimassa vain syklisille nelikulmioille.[6]

Ptolemaioksen epäyhtälön todistusMuokkaa

Tarkastellaan nelikulmiota ABCD. Konstruoidaan nyt piste E siten, että kolmiot ACD ja AEB ovat yhdenmuotoiset(  ja  ). Tällöin   joten   Koska myös  , on  , sillä kolmiot   ja   ovat yhteneviä. Siten   Siten   on jännenelikulmio, joten   Siten pisteet   ja   ovat samalla suoralla, joten  . Nyt saadaan siis   Kertomalla yhtälö puolittain  :llä saadaan  

Oletetaan sitten, että   ei ole jännenelikulmio. Tällöin   joten pisteet  ,   ja   muodostavat kolmion. Siten kolmioepäyhtälön nojalla on voimassa  . Edelleen saadaan aiemmin johdetusta identiteetistä   Siis   Nämä yhdessä antavat Ptolemaioksen ensimmäisen lauseen:  , missä yhtäsuuruus esiintyy vain jos   on jännenelikulmio.

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. Weisstein, Eric W.: Ptolemy's Theorem (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Weisstein, Eric W.: Ptolemy Inequality (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Weisstein, Eric W.: Cyclic Quadrilateral (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b Yiu, P.: Euclidean Geometry (luentomoniste, s. 148–152) http://math.fau.edu/yiu/Geometry.html. 1998. Florida Atlantic University. Viitattu 25.9.2013.
  5. a b c http://geome3atc.wordpress.com/2010/08/06/ptolemys-theorems/
  6. Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, s. 200–201. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6. (englanniksi)