Avaa päävalikko
Erilaisia jännenelikulmioita: neliö, suorakulmio, tasakylkinen puolisuunnikas ja yleinen syklinen nelikulmio.
Syklinen nelikulmio eli jännenelikulmio.
Syklisen nelikulmion lävistäjien jakamat samansuuruiset kulmat.
Pisteen potenssi.
Nelikulmio voi olla myös "perhonen".

Jännenelikulmio eli syklinen nelikulmio on geometriassa nelikulmio, jonka kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä. Sanotaan, että syklisen nelikulmion kärjet ovat konsykliset. Kukin nelikulmion sivu on myös ympyrän jänne.[1][2]

Kaikille kolmioille voidaan piirtää ympyrä (ulkoympyrä), joka kulkee jokaisen kolmion kärjen kautta.[3] Nelikulmiolla tämä ei enää pidä paikkaansa. Jos ympyrä kulkee ensin kolmen kärjen kautta, voi neljäs kärki sijaita muuallakin kuin ympyrän kehällä. Jännenelikulmiot ovat siten nelikulmioiden erityinen luokka. Kuitenkin kaikki neliöt, suorakulmiot ja tasakylkiset puolisuunnikkaat ovat syklisiä nelikulmioita.

Jännenelikulmiolla on kaksi paria vastakkaisia kulmia. Voidaan osoittaa, että jännenelikulmiossa vastakkaiset kulmat ovat toistensa suplementtikulmia eli vastakkaisten kulmien summa on aina 180 astetta. Supplementtikulmaehto on myös välttämätön ehto sille, että nelikulmion kärkien kautta voidaan piirtää ympyrä.[1][4][5]

ErityispiirteitäMuokkaa

Seuraavat ehdot ovat tasavertaisia keskenään. Niissä viitataan viereisten kuvien merkintöihin. Nelikulmio on konveksi ja syklinen jos ja vain jos

  • vastakkaiset kulmat ovat supplemettikulmia eli niiden summa on 180 astetta. Viereisen kuvan merkinnöin   ja  .[6]
  • kaikkien sivujen keskinormaalit leikkaavat toisensa pisteessä O.[6]
  • kunkin kulman ulkokulma on yhtäsuuri kuin vastainen kulma. Esimerkiksi kulman   ulkokulma on sama suuruinen kuin kulma   itse.
  • nelikulmion lävistäjien   ja   leikkauspiste   toteuttaa pisteen potenssin eli että  .[7]
  • lävistäjien   ja   tulo on vastaisten sivujen tulojen summa eli Ptolemaioksen lauseen mukaan  .
  • sivun ja lävistäjän välinen kulma on yhtä suuri kuin vastaisen sivun ja toisen lävistäjän välinen kulma viereisessä kulmassa. Nämä kulmat ovat samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ja ovat siksi yhtä suuret. Viereisessä kuvassa samansuuruiset kulmat on samanväriset.[4]
  • edellinen havainto auttaa huomaamaan, että lävistäjien erottamat kolmiot ovat yhdenmuotoiset:   ja  .

OminaisuuksiaMuokkaa

Pinta-alaMuokkaa

Yleisen nelikulmion ala on, kun   on puolipiiri,

  [8]

Koska syklisessä nelikulmiossa   ja   tulee pinta-alasta

  [8]

mikä tunnetaan Brahmaguptan kaavana. Pinta-ala on suurin niiden nelikulmioiden joukossa, joiden sivut ovat samat kuin syklisellä nelikulmiolla.[2]

Lävistäjien pituudetMuokkaa

Syklisen nelikulmion lävistäjät voidaan laskea seuraavasti:

 

ja

 

Tulos tunnetaan nimellä Mahaviran lause.[9]

Ympäröivän ympyrän sädeMuokkaa

Syklisen nelikulmion ympyrän säteelle voidaan johtaa lauseke

  [10][11]

missa   on nelikulmion pinta-ala.

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. a b Väisälä, Kalle: Geometria, s. 89–90
  2. a b Weisstein, Eric W.: Cyclic Quadrilateral (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Väisälä, Kalle: Geometria, s. 76–77
  4. a b Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan: Mathematical Olympiad Treasures, s. 44–46. kappale 2.3 Cyclic quads. Springer, 2004. Teoksen verkkoversio (Google-book) (viitattu 23.9.2013).
  5. Joyce, D.E.: Euclid's Elements Book III, Proposition 22, 1996, Clark University
  6. a b Usiskin, Zalman & Griffin, Jennifer & al.: The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, s. 63–65. Porvoo: IAP, 2008. Teoksen verkkoversio (pdf).
  7. Väisälä, Kalle: Geometria, s. 117–118
  8. a b Yiu, P.: Euclidean Geometry, 1998, s. 147–148
  9. http://geome3atc.wordpress.com/2010/08/06/ptolemys-theorems/
  10. Lennart Råde, Bertil Westergren, Mathematical Handbook for Science and Engineering>
  11. http://2000clicks.com/mathhelp/geometrytrianglecyclicquadrilateralcircumscribedcircle.aspx