Paraabeli

Matemaattinen tasokäyrä

Paraabeli (kreik. παραβολή, parabolḗ, vanh. myös parabeli[1]) on matemaattinen tasokäyrä. Se on eräs kartioleikkauksista. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelilla kartioleikkauksena on ominaisuus, että sen kaltevuuskulma on aina yhtäsuuri kuin kyseistä paraabelia vastaavan ympyräkartion sivujanan kaltevuuskulma.[2]

Ylöspäin aukeava paraabeli.

Geometrinen määritelmä ja nimityksiäMuokkaa

 
Pisteiden etäisyydet ovat yhtä suuria polttopisteeseen   ja johtosuoralle  .
 
Paraabeli on eräs kartioleikkauksista.

Olkoon l tason suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä suorasta l että pisteestä P. Suoraa l kutsutaan paraabelin johtosuoraksi ja pistettä P (myös F) polttopisteeksi.

Paraabelin akseli on polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Paraabelin huippu on paraabelin leikkauspiste akselinsa kanssa.[3]

Paraabeli analyyttisessä geometriassaMuokkaa

Pystysuora symmetria-akseliMuokkaa

Jos paraabelin akseli on pystysuora, on paraabelin yhtälö karteesisessa koordinaatistossa  . Tässä kertoimet a, b ja c ovat reaalilukuja ja lisäksi a on nollasta eroava.

Kertoimen a merkistä riippuu paraabelin aukeamissuunta: jos  , aukeaa paraabeli ylöspäin, jos taas  , aukeaa paraabeli alaspäin.

Paraabelin   huippupisteen x-koordinaatti on

 

Tämä voidaan perustella differentiaalilaskennan avulla derivoimalla funktio   ja määräämällä derivaatan nollakohta. Huippupisteen y-koordinaatti on

 

Vaakasuora symmetria-akseliMuokkaa

Jos paraabelin akseli on vaakasuora, on sen yhtälö  . Kertoimen a merkitys ja huippukohta ovat analogiset edellisten kanssa.[3]

Yleinen paraabeliMuokkaa

Yleiselle paraabelille, jonka polttopiste on   ja jonka johtosuora on muotoa  , pätee yhtälö

 

Paraabeli funktion kuvaajanaMuokkaa

Toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat paraabeleja. Yksinkertaisin tällainen funktio on  . Kuvaajan muotoon ja sijaintiin vaikuttavat funktion   parametrit   ja  .

Parametri   vaikuttaa yleisesti paraabelin jyrkkyyteen, siis siihen, kuinka jyrkästi paraabeli aukeaa ylös tai alas. Parametrin   arvo määrää myös paraabelin aukeamissuunnan: positiivisella  :lla varustetun funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, ja negatiivisella  :lla varustetun alaspäin.

Parametri   vaikuttaa puolestaan kuvaajan sijaintiin sivusuunnassa ja myös pystysuunnassa. Voidaan myös huomata, että funktion   kuvaajan huippupiste siirtyy  :n vaihdellessa funktion   kuvaajaa pitkin. Perustelu tälle mielenkiintoiselle havainnolle saadaan siitä, että paraabelin   huippupisteen koordinaatit   ja   toteuttavat yhtälön

 

ja ovat siis funktion   kuvaajalla.

Pisteen kautta kulkeva tangenttiMuokkaa

Tarkastellaan paraabelia  , missä  .

Pisteen   kautta kulkevien tämän paraabelin tangenttien sivuamispisteiden koordinaatit saadaan tällöin yhtälöistä

 

Juurrettavan arvosta riippuen saadaan nolla, yksi tai kaksi tangenttia.

Jos  , ts. piste sijaitsee tarkastellulla paraabelilla, saadaan yksi tangentti, jonka yhtälö saadaan kaavasta

 

Kun yo. yhtälön juurrettava   saadaan kaksi sivuamispistettä ja kaksi tangenttia.

Kun  , missä  , on tällaisen tangentin sivuamispiste, sen yhtälö saadaan kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöstä

 



Paraabelien akrobatiaaMuokkaa

Tarkastellaan paraabelia  ,  , ja sen peilaamista huippupisteen   kautta kulkevan tangenttinsa suhteen. Olemme siis kiinnostuneita "kääntämään paraabelin ylösalaisin" huippupisteen pysyessä paikallaan. Tämä voidaan ajatella tehtävän kahdessa vaiheessa:

(1) Peilataan paraabeli ensin  -akselin suhteen. Tämä vaihtaa  -koordinaatin etumerkin, ja päädytään paraabeliin  , jonka huippu on pisteessä  .

(2) Siirretään näin saatua paraabelia   pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen. Tarvittava pystysuuntainen siirto on suuruudeltaan  . Tämä on selvää, koska huippupisteen  -koordinaatti ei muuttunut vaiheessa (1), mutta  -koordinaatti muuttui vastaluvuksi. Siirto johtaa paraabeliin

 

eli

 .

Näin saadun paraabelin huippu on huippupisteen laskukaavan mukaisesti pisteessä  , siis samassa pisteessä kuin alkuperäisen paraabelin huippupiste, kuten pitikin.

Kun siis ajatellaan, että paraabeli on kiinni vain huippupisteestään, ja se käännetään ylösalaisin, päädytään paraabeliin  .

Esimerkki. Paraabelin   peilikuva, eli "käännetty" paraabeli, on siis  .

Paraabelin   "kääntämisen" kaava on siis:  .

LähteetMuokkaa

  1. Väisälä, Kalle: Algebran oppi- ja esimerkkikirja 2, pidempi kurssi. WSOY, 1966.
  2. Kivelä, Simo K.: Kartioleikkaukset Matta: Simo Kivelä. Viitattu 15.1.2016.
  3. a b Jäppinen, Paavo; Kupiainen, Alpo; Räsänen, Matti: Lukion Calculus 2. Otava, 2004. ISBN 951-1-19611-1.

KirjallisuuttaMuokkaa