Avaa päävalikko

Paraabeli

Matemaattinen tasokäyrä
Ylöspäin aukeava paraabeli.

Paraabeli (kreik. παραβολή, parabolḗ) on matemaattinen tasokäyrä. Se on eräs kartioleikkauksista. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelilla kartioleikkauksena on ominaisuus, että sen kaltevuuskulma on aina yhtäsuuri kuin kyseistä paraabelia vastaavan ympyräkartion sivujanan kaltevuuskulma.[1]

Geometrinen määritelmä ja nimityksiäMuokkaa

 
Pisteiden etäisyydet ovat yhtä suuria polttopisteeseen   ja johtosuoralle  .
 
Paraabeli on eräs kartioleikkauksista.

Olkoon l tason suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä suorasta l että pisteestä P. Suoraa l kutsutaan paraabelin johtosuoraksi ja pistettä P (myös F) polttopisteeksi.

Paraabelin akseli on polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Paraabelin huippu on paraabelin leikkauspiste akselinsa kanssa.[2]

Paraabeli analyyttisessä geometriassaMuokkaa

Pystysuora symmetria-akseliMuokkaa

Jos paraabelin akseli on pystysuora, on paraabelin yhtälö karteesisessa koordinaatistossa  . Tässä kertoimet a, b ja c ovat reaalilukuja ja lisäksi a on nollasta eroava.

Kertoimen a merkistä riippuu paraabelin aukeamissuunta: jos  , aukeaa paraabeli ylöspäin, jos taas  , aukeaa paraabeli alaspäin.

Paraabelin   huippupisteen x-koordinaatti on

 

Tämä voidaan perustella differentiaalilaskennan avulla derivoimalla funktio   ja määräämällä derivaatan nollakohta. Huippupisteen y-koordinaatti on

 

Vaakasuora symmetria-akseliMuokkaa

Jos paraabelin akseli on vaakasuora, on sen yhtälö  . Kertoimen a merkitys ja huippukohta ovat analogiset edellisten kanssa.[2]

Yleinen paraabeliMuokkaa

Yleiselle paraabelille, jonka polttopiste on   ja jonka johtosuora on muotoa  , pätee yhtälö

 

Paraabeli funktion kuvaajanaMuokkaa

Toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat paraabeleja. Yksinkertaisin tällainen funktio on  . Kuvaajan muotoon ja sijaintiin vaikuttavat funktion   parametrit   ja  .

Parametri   vaikuttaa yleisesti paraabelin jyrkkyyteen, siis siihen, kuinka jyrkästi paraabeli aukeaa ylös tai alas. Parametrin   arvo määrää myös paraabelin aukeamissuunnan: positiivisella  :lla varustetun funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, ja negatiivisella  :lla varustetun alaspäin.

Parametri   vaikuttaa puolestaan kuvaajan sijaintiin sivusuunnassa ja myös pystysuunnassa. Voidaan myös huomata, että funktion   kuvaajan huippupiste siirtyy  :n vaihdellessa funktion   kuvaajaa pitkin. Perustelu tälle mielenkiintoiselle havainnolle saadaan siitä, että paraabelin   huippupisteen koordinaatit   ja   toteuttavat yhtälön

 

ja ovat siis funktion   kuvaajalla.

Pisteen kautta kulkeva tangenttiMuokkaa

Tarkastellaan paraabelia  , missä  .

Pisteen   kautta kulkevien tämän paraabelin tangenttien sivuamispisteiden koordinaatit saadaan tällöin yhtälöistä

 

Juurrettavan arvosta riippuen saadaan nolla, yksi tai kaksi tangenttia.

Jos  , ts. piste sijaitsee tarkastellulla paraabelilla, saadaan yksi tangentti, jonka yhtälö saadaan kaavasta

 

Kun yo. yhtälön juurrettava   saadaan kaksi sivuamispistettä ja kaksi tangenttia.

Kun  , missä  , on tällaisen tangentin sivuamispiste, sen yhtälö saadaan kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöstä

 



Paraabelien akrobatiaaMuokkaa

Tarkastellaan paraabelia  ,  , ja sen peilaamista huippupisteen   kautta kulkevan tangenttinsa suhteen. Olemme siis kiinnostuneita "kääntämään paraabelin ylösalaisin" huippupisteen pysyessä paikallaan. Tämä voidaan ajatella tehtävän kahdessa vaiheessa:

(1) Peilataan paraabeli ensin  -akselin suhteen. Tämä vaihtaa  -koordinaatin etumerkin, ja päädytään paraabeliin  , jonka huippu on pisteessä  .

(2) Siirretään näin saatua paraabelia   pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen. Tarvittava pystysuuntainen siirto on suuruudeltaan  . Tämä on selvää, koska huippupisteen  -koordinaatti ei muuttunut vaiheessa (1), mutta  -koordinaatti muuttui vastaluvuksi. Siirto johtaa paraabeliin

 

eli

 .

Näin saadun paraabelin huippu on huippupisteen laskukaavan mukaisesti pisteessä  , siis samassa pisteessä kuin alkuperäisen paraabelin huippupiste, kuten pitikin.

Kun siis ajatellaan, että paraabeli on kiinni vain huippupisteestään, ja se käännetään ylösalaisin, päädytään paraabeliin  .

Esimerkki. Paraabelin   peilikuva, eli "käännetty" paraabeli, on siis  .

Paraabelin   "kääntämisen" kaava on siis:  .

LähteetMuokkaa

  1. Kivelä, Simo K.: Kartioleikkaukset Matta: Simo Kivelä. Viitattu 15.1.2016.
  2. a b Jäppinen, Paavo; Kupiainen, Alpo; Räsänen, Matti: Lukion Calculus 2. Otava, 2004. ISBN 951-1-19611-1.

KirjallisuuttaMuokkaa