Normaali (matematiikka)

Normaali on geometriassa vektori tai suora, joka leikkaa tasossa kohtisuorasti toista janaa, suoraa, vektoria tai käyrää vasten, taikka tilassa myös tasoa tai pintaa vasten. Tasogeometriassa suoran, janan tai vektorin normaali on toinen suora tai vektori, joka on kohtisuorassa tätä vasten. Jos kohteena on mutkitteleva käyrä, on normaali kohtisuorassa tässä kohdassa olevaa käyrän tangenttia vasten. Avaruusgeometriassa suorien, janojen ja vektorien normaali määritellään samoin kuin tasogeometriassa. Tilassa voi vielä esiintyä tasoja, joiden normaali on suora tai vektori, joka on kohtisuorassa tasoa vastaan katsottiinpa sitä tasossa miltä suunnalta hyvänsä. Tällöin normaali on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tila-avaruudessa mutkittelevan pinnan normaali on kohtisuorassa pinnan tangenttitasoa vasten.[1][2][3][4]

Kohtisuoruus merkitään kuvioon kulmakaarella, jonka sisällä on piste tai pienellä neliöllä.

Kuvioissa kahden kohtisuorasti kohtaavan objektin väliin piirretään pieni neliö taikka kulmakaari, jonka sisälle merkitään piste. Tekstissä kohtisuoruus voidaan esittää objektien tunnusten väliin sijoitettavalla kohtisuoruussymbolilla. Seuraavassa esimerkissä ja ovat suoria, ja vektoreita, ja janoja, on käyrä, on taso ja on pinta. Silloin voidaan edellisen esityksen mukaisesti merkitä esimerkiksi

tai avaruusgeometriassa edellisten lisäksi myös vektorin kanssa esitettynä

[5]

ja janalla ja suoralla vastaavalla tavalla.

Tasogeometriassa

muokkaa

Suorat ja janat

muokkaa

Kahden suoran leikatessa toisensa kohtisuorasti, ovat molemmat suorat toistensa normaaleja.[6] Koska suorien leikkauskohdassa olevat neljä kulmaa ovat toisilleen vieruskulmat ja ristikulmat, ovat ne kaikki 90°.[7][8][1]

Normaalit voidaan aina piirtää käyttäen konstruktiivista menetelmää viivaimella ja harpilla.[5][9] Jos tasolta, jossa kulkee jo suora, osoitetaan piste, voidaan tämän pisteen kautta aina piirtää suoralle normaali. Jos piste on annetulla suoralla, piirretään harpilla pisteen ympärille ensin ympyrä. Ympyrän ja suoran leikkauspisteistä piirretään ympyrän halkaisijan pituisella säteellä kaksi puoliympyrää niin, että nämä leikkaavat toisensa. Puoliympyröiden leikkauspisteistä vedetään suoralle normaali. Sama voidaan tehdä myös silloin, kun piste sijaitsee sivussa annetusta suorasta. Ensin piirretään riittävän pitkällä säteellä harpin avulla kaari, joka leikkaa suoraa kahdessa leikkauspisteessä. Leikkauspisteistä piirretään leikkauspisteiden välin pituisella säteellä kaksi puoliympyrän kaarta, joiden leikkauspisteiden kautta vedetään suoralle normaali.[1]

Kahden suoran avulla, jotka leikkaavat toisensa muuten kuin kohtisuorasti, voidaan muodostaa uudet suorat, jotka ovat kohtisuorat. Koska ristikulmien kulmanpuolittajat muodostavat aina yhteisen suoran, voidaan kahden leikkaavan suoran molemmista ristikulmaparista muodostaa kaksi keskenään leikkaavaa suoraa. Näiden kulmanpuolittajasuorien välinen kulma on suorakulma, koska vieruskulmiensa (α + β = 180°) puolikkaina ne muodostavat välillensä suoran kulman (α/2 + β/2 = (α + β)/2 = 90°).[1]

Janalle voidaan konstruoida normaali vastaavalla tavalla. Lähtien ulkopuolisesta tai janalla olevasta pisteestä, voidaan määrätä normaali samalla tavalla. Jos jana on lyhyt, voidaan sitä aina jatkaa viivaimella, jotta piirrokset ovat riittävän laajat. Janalle voidaan muodostaa myös keskinormaali, joka kulkee janan keskipisteen kautta.[10][11][12] Janan normaalin jokaisen pisteen etäisyydet janan kummastakin päätepisteestä ovat aina samat.[13]

Jos janana on ympyrän säde, voidaan sen kehäpisteeseen piirtää tangentti, joka on aina ympyrän säteen normaali. Kolmion korkeusjana on sen kannan normaalin suuruinen, joka piirretään kulkemaan huipun kautta.[14][15] Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat toisensa normaalien suuntaiset.[16]

Analyyttinen geometria

muokkaa
 
Suoran normaalin kulmakerroin voidaan päätellä suoran kulmakertoimesta. Sinisen suoran kulmakerroin on -2, joten punaisen normaalin kulmakerroin saadaan kn = -1/(-2) = 1/2.

Jokaisella vaakasuoralla y = a on normaalina pystysuora x = b, joissa luvut a ja b ovat vapaasti valittavina, ja päinvastoin.[17]

Jos annettu vinosti kulkeva suora esitetään yhtälöllä

 

ja on sen kulmakerroin  . Normaalin yhtälön kulmakertoimeksi   tulee silloin

  [17]

Ehdokkaita normaaliksi on äärettömän monia, sillä suoralta on vielä valittava se piste, jonka kautta normaali kulkee. Jos valittu piste on  , saadaan yhtälöksi

 

.

 

Vektorit

muokkaa

Yleisen suoran yhtälön, eli normaalimuotoisen suoran yhtälön, normaalivektori voidaan muodostaa yhtälön kertoimista

 

Merkitään vektoria   ja   Vektorit   ja   ovat toistensa normaalivektoreita eli   jos Tämä pistetulon nollasääntö on hyvä vektoreiden kohtisuoruustesti.[17][18][7]

Funktion kuvaajan normaalit

muokkaa
 
Punaisen funktion kuvaajalle pisteeseen M on piirretty sininen tangentti T [19], jota leikkaa pisteessä M vihreä normaali N.

Funktion kuvaajalle voidaan piirtää kohtaan a normaali, joka on kohtisuorassa kuvaajan samaan kohtaan piirrettyä tangenttia vastaan. Tangentin kulmakerroin   kohdassa a saadaan funktion derivaatan arvosta kyseisessä kohdassa. Normaalin kulmakerroin   määräytyy samalla tavalla kuin suorillakin eli

  [20][21]

Normaalin yhtälö pisteessä   missä derivaatta on olemassa muttei ole arvoltaan nolla, on

  [17][20][21]

Jos derivaattaa ei siinä kohdassa ole olemassa, on normaalin yhtälö   Jos derivaatta on nolla, tulee normaalin yhtälöksi ottaa pystysuora   [17][22]

Tason käyrät

muokkaa

Ympyrän normaali on säteen suuntainen, koska ympyrän tangentti on sädettä kohtisuorassa ja normaali tangenttia kohtisuorassa.[23]

Avaruusgeometriassa

muokkaa

Tasot yleisesti ja analyyttisessä geometriassa

muokkaa

Tila-avaruudessa esitettävä taso voi olla äärettömän monessa asennossa ja kohdassa, joten tasolle voidaan asettaa normaalisuora, -jana tai -vektori äärettömän moneen kohtaan. Lukuisista sijoitusvaihtoehdoista huolimatta samalla puolella tasoa olevat normaalivektorit osoittavat aina samaan suuntaan, kun tason vastakkaisella puolella olevat normaalivektorit osoittavat vastakkaiseen suuntaan. Molemmilla vektoreilla voidaan suunnata normaalisuorat, jotka ovat keskenään yhdensuuntaiset.

Tasolle sijoitettava normaali tulee olla kohtisuorassa kaikkien tasonsuuntaisten vektorien kanssa. Riittää kuitenkin valita kaksi tasonsuuntaista vektoria (esimerkiksi   ja  ), jotka ovat keskenään erisuuntaiset, ja normaali   voidaan määrittää näiden avulla käyttäen pistetuloa

  [24][25]

Tason yhtälö voidaan muodostaa vektoreilla käyttäen normaalivektoria  . Valitaan tasolta piste P, jonka avulla muut tason pisteet Q ilmoitetaan. Tasoehto sisältää pistetulon, jossa normaalivektori kerrotaan paikkavektoreiden erotuksella

 

.

  [26]

Tason yhtälön muuttujien kertoimet A, B ja C ovat siten normaalinvektorin komponentteja.

Yleiset pinnat

muokkaa

Tilassa mutkittelevan pinnan eri kohtien tangenttitasot ovat eri asennoissa. Tason normaalit, jotka ovat samalla myös pinnan normaalivektorit, ovat siten myös eri asennoissa. Jos esimerkiksi kaksiulotteinen pinta P mutkittelee kolmiulotteisessa avaruudessa, voidaan se joissakin tapauksissa esittää yhtälöllä   Tämän pinnan normaali pisteessä   voidaan laskea osittaisderivaatoilla

 

missä   ja   [25][27][28]

Vektorit

muokkaa

Kuten tasossakin, kaksi vektoria   ja   ovat kohtisuorassa eli   kun

  [17]

Lähteet

muokkaa

Viitteet

muokkaa
  1. a b c d Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s. 15–17
  2. Seppänen, Raimo et al.: Maol, s. 42
  3. Seppänen, Raimo et al.: Maol, s. 46
  4. Weisstein, Eric W.: Right Angle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. a b Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 8
  6. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 31–33
  7. a b Weisstein, Eric W.: Perpendicular (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Weisstein, Eric W.: Orthogonal lines (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 38
  10. Weisstein, Eric W.: Perpendicular Bisectort (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  11. Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s. 27–28
  12. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 75
  13. Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s. 76
  14. Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s. 32
  15. Weisstein, Eric W.: Orthogonal foot (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  16. Weisstein, Eric W.: Catethus (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  17. a b c d e f Seppänen, Raimo et al.: Maol
  18. Weisstein, Eric W.: Perpendicular Vector (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  19. Weisstein, Eric W.: Tangent line (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  20. a b Internetix: Tangentti ja normaali
  21. a b Internetix: 2.3 Käyrän tangentti ja normaali
  22. Weisstein, Eric W.: Derivative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  23. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 74
  24. Kivelä: Normaali
  25. a b Weisstein, Eric W.: Normaalivektori (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  26. Petäys, Vesa: Taso
  27. Weisstein, Eric W.: Surface (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  28. Weisstein, Eric W.: Tangent plane (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Kirjallisuutta

muokkaa